Избранные задачи аэроупругости. Гришанина Т.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МАИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

31
3.4. Определение критических скоростей флаттера и дивергенции
Характеристическое уравнение системы (3.7) имеет вид
0
22222222
2
21212121
2
12121212
2
11111111
2
=
++λ+λ++λ+λ
++λ+λ++λ+λ
bMkdmbMkdm
bMkdmbMkdm
.
Раскрывая определитель, получаем
0
01
2
2
3
3
4
4
=+λ+λ+λ+λ aaaaa , (3.18)
где
211222114
mmmma
−
= ;
12212112112222113
dmdmdmdma −−
+
= ;
2102
MAAAa
+
+= ;
211
MBBa += ;
2
2
100
MM CCCa ++=
;
12212112112222110
kmkmkmkmA −
−
+
= ; (3.19)
211222111
ddddA
−
=
;
12212112112222112
bmbmbmbmA −−+= ;
12212112112222111
kdkdkdkdB −
−
+
= ;
12212112112222112
bdbdbdbdB −−+= ;
211222110
kkkkC
−
= ;
12212112112222111
bkbkbkbkC −−+= ;
211222112
bbbbC −= .
32
Уравнение (3.18) в общем случае имеет комплексно-
сопряженные корни
ω
±
α
=
λ
i . Если хотя бы у одного корня 0>α
и
0≠ω , то система динамически неустойчива (флаттер); если 0>α
и
0=ω , то система статически неустойчива (дивергенция) [1]. Слу-
чай
0
=
α является границей устойчивости: на границе флаттера
0=α , 0
≠
ω
и
ω
±
=
λ
i ; на границе дивергенции 0
=
α
, 0=ω и
0=λ .
Полагая в уравнении (3.18)
ω
=
λ
i и приравнивая нулю от-
дельно его действительную и мнимую части, получаем уравнение
границы флаттера
0
2
303214
2
1
=+− aaaaaaa (3.20)
и квадрат частоты колебаний на этой границе
31
2
aa=ω
. (3.21)
С учетом (3.21), обозначений (3.19) уравнение (3.20) записыва-
ется в виде
0MM
01
2
2
=++ ppp , (3.22)
где
2
2
3223
2
242
CaABaBap +−=
;
1
2
312120232141
)(2 CaBAABABaBBap +++−= ; (3.23)
0
2
31013
2
140
)( CaAABaBap ++−= .
Если положить
0
=
λ
, то получим уравнение границы дивер-
генции
0
0
=
a , которое записывается в виде
0MM
01
2
2
=++ CCC . (3.24) 
3.4. Определение критических скоростей флаттера и дивергенции                               Уравнение       (3.18)    в   общем      случае      имеет     комплексно-
      Характеристическое уравнение системы (3.7) имеет вид                            сопряженные корни λ = α ± iω . Если хотя бы у одного корня α > 0
                                                                                      и ω ≠ 0 , то система динамически неустойчива (флаттер); если α > 0
      λ2 m11 + λd11 + k11 + Mb11         λ2 m12 + λd12 + k12 + Mb12
                                                                      = 0.            и ω = 0 , то система статически неустойчива (дивергенция) [1]. Слу-
      λ2 m21 + λd 21 + k 21 + Mb21 λ2 m22 + λd 22 + k22 + Mb22
                                                                                      чай α = 0 является границей устойчивости: на границе флаттера
      Раскрывая определитель, получаем
                                                                                      α = 0 , ω ≠ 0 и λ = ±iω ; на границе дивергенции α = 0 , ω = 0 и
                   a4λ + a3λ + a2λ + a1λ + a0 = 0 ,
                       4          3     2
                                                                             (3.18)   λ = 0.
где                                                                                         Полагая в уравнении (3.18) λ = iω и приравнивая нулю от-

      a 4 = m11m22 − m12 m21 ;                                                        дельно его действительную и мнимую части, получаем уравнение
                                                                                      границы флаттера
      a3 = m11d 22 + m22 d11 − m12 d 21 − m21d12 ;
                                                                                                                 a12 a4 − a1a2 a3 + a0 a32 = 0                   (3.20)
      a2 = A0 + A1 + MA2 ;                                                            и квадрат частоты колебаний на этой границе
      a1 = B1 + MB2 ;                                                                                            ω2 = a1 a3 .                                    (3.21)

      a0 = C0 + MC1 + M 2C2 ;                                                               С учетом (3.21), обозначений (3.19) уравнение (3.20) записыва-
      A0 = m11k 22 + m22 k11 − m12 k 21 − m21k12 ;                      (3.19)        ется в виде
                                                                                                                p2 M 2 + p1M + p0 = 0 ,                          (3.22)
      A1 = d11d 22 − d12 d 21 ;
                                                                                      где
      A2 = m11b22 + m22b11 − m12 b21 − m21b12 ;
                                                                                               p2 = a4 B22 − a3 B2 A2 + a32 C 2 ;
      B1 = d11k 22 + d 22 k11 − d12 k 21 − d 21k12 ;
                                                                                                p1 = 2a4 B1 B2 − a3 ( B2 A0 + B2 A1 + A2 B1 ) + a32 C1 ;         (3.23)
      B2 = d11b22 + d 22b11 − d12b21 − d 21b12 ;
                                                                                               p0 = a4 B12 − a3 B1 ( A0 + A1 ) + a32 C0 .
      C0 = k11k 22 − k12 k 21 ;
                                                                                            Если положить λ = 0 , то получим уравнение границы дивер-
      C1 = k11b22 + k 22 b11 − k12b21 − k 21b12 ;
                                                                                      генции a0 = 0 , которое записывается в виде
      C 2 = b11b22 − b12 b21 .
                                                                                                        C2 M 2 + C1M + C0 = 0 .                                  (3.24)

                                                                                31    32

Страницы