Введение в численные методы. Гришанова Л.И - 15 стр.

UptoLike

15
Тогда формулы (1.11) метода
касательных принимают вид
12
1
1
0
()
'( )
(0,1,2,...).
n
nn
fx
xx
fx
n
(1.16)
Графическое представление та$
кого метода приведено на рис. 1.8,
на котором угол наклона всех ка$
сательных одинаков и определяет$
ся значением f'(x
0
). Все остальные
особенности метода касательных сохраняются; прекращение вычис$
лений определяется условием (1.14).
1.7. Метод хорд
Пусть определен интервал [a, b], в котором лежит один корень x
*
уравнения (1.1) f(x) = 0.
Учитывая, что f(a)×f(b)<0, определяем первое приближение как
точку пересечения с осью абсцисс хорды A
0
B
0
, соединяющей точки
A
0
[a, f(a)] и B
0
[b, f(b)] (рис. 1.9, а).
Для нахождения последующего приближения вычислим значе$
ние f(x
1
) и сопоставим со значениями f(a) и f(b). Выберем тот из ин$
тервалов [a, x
1
] или [x
1
, b], на концах которого функция f(x) имеет
разные знаки (именно внутри этого интервала лежит искомый ко$
рень x
*
). Применим предыдущий прием к этому интервалу, получая
последующее приближение – точку x
2
.
Заметим, что для случая, показанного на рис. 1.9, а, производные
f'(x) и f"(x) сохраняют положительный знак (f'(x)>0, f"(x)>0;
f'(x)×f"(x)>0) и все приближения x
1
, x
2
,... образуют возрастающую
последовательность, ограниченную значением x = x
*
. Следователь$
но,
*
lim
n
x
x
n
1
и при этом в любом из приближений соответствую$
щая хорда проходит через начальную точку B
0
[b, f(b)]. Для получе$
ния формулы, определяющей последующие приближения, рассмот$
рим переход от x
n
к x
n+1
. В этом случае уравнение хорды B
n
B
0
как
прямой, проходящей через точки B
n
, B
0
, имеет вид
()
() ( )
nn
nn
yfx xx
fb fx b x
11
2
11
.
Рис. 1.8. Упрощенный метод
касательных