Введение в численные методы. Гришанова Л.И - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

17
При выполнении упомянутых требований («а», «б», «в») возмож$
ны и иные картины построений для метода хорд, определяемые соче$
таниями знаков производных f'(x) и f"(x).
Рис. 1.9, а соответствует рассмотренному уже случаю f'(x)>0,
f"(x)>0 (функция f(x) монотонно возрастает и выпукла вниз). Слу$
чай f'(x), f"(x)< 0 (рис. 1.9, б) приводит к аналогичным построени$
ям, и последовательность x
1
, x
2
,... оказывается так же возрастаю$
щей.
Однако в случаях f'(x)>0, f"(x)< 0 (рис. 1.9, в) и f'(x) < 0, f"(x)>0
(рис. 1.9, г) после определения каждого x
n
различными оказываются
знаки значений функций f(a) и f(x
n
) (а не f(x
n
) и f(b), как ранее). По$
этому «неподвижной» для всех хорд оказывается точка A
0
[a, f(a)] (а
не B
0
[b, f(b)]). В результате расчетными являются формулы
12
12 12
1
n
nn n
n
xa
xxfx
fx fa
3
43
3
(n = 0, 1, 2,...), (1.18)
а последовательность x
1
, x
2
,... оказывается убывающей.
Таким образом, если f'(x)f"(x)>0, то следует использовать форму$
лы (1.17), выбирая за начальное значение x
0
= a, если же f'(x)f"(x)< 0,
то используются формулы (1.18) и начальным является x
0
= b.
Пример 1.6
Для уравнения f(x) = x
3
– 0.2x
2
– 0.2x – 1.2 = 0 найти корень x
*
,
лежащий в интервале [1, 1.5] с точностью до 0.002.
Решение. Так как по условию задачи в указанном интервале ле$
жит один корень x
*
, проведем его уточнение, пользуясь методом хорд:
f'(x) = 3x
2
– 0.4x0.2; f"(x) = 6x – 0.4;
f(1) = – 0.6 < 0; f(1.5) = 1.425 > 0
при
1.0 £ x £ 1.5,
2.4 £ f'(x) £ 5.95; 5.6 £ f"(x) £ 8.6.
Следовательно, f'(x)×f"(x)> 0 при 1.0 £ x £ 1.5.
Пользуясь формулами (1.17) и принимая x
0
= a = 1, последова$
тельно находим (b = 1.5):
1
2
1
0.6 1.5 1
11.15
1.425 0.6
x
3
454
5
; f(x
1
) = – 0.173;
2
1.5 1.15
1.15 0.173 1.190
1.425 0.173
x
1
23 2
3
; f(x
2
) = – 0.036;

Страницы