Составители:
19
Правило выбора начального приближения сохраняется тем же,
что и в методе касательных. А именно, в качестве начальной точки
выбирается тот из концов интервала [a, b], в котором f(x)f"(x) > 0.
Для проведения хорды теперь необходимо задать еще одно значение
x
1
, расположенное внутри интервала [a, b] так, чтобы имело место и
f(x
0
)f(x
1
) > 0.
1.9. Комбинированный метод (вариант 1)
Данный вариант метода предполагает объединение метода каса$
тельных и метода хорд.
Пусть на интервале [a, b] f'(x) > 0, f"(x) > 0 (рис. 1.11). Тогда
применение метода касательных (рис. 1.7) дает убывающую после$
довательность приближений
12
,,xx1 , сходящуюся к искомому кор$
ню x
*
. В то же время применение метода хорд (рис. 1.9, а) дает возра$
стающую последовательность x
1
, x
2
,..., имеющую тот же предел x
*
.
Следовательно, объединение этих методов, состоящее в их последо$
вательном одновременном применении, дает возможность параллель$
ного вычисления корня x
*
с избытком и с недостатком. В частности,
значащие цифры, общие для
n
x и x
n
, принадлежат и точному значе$
нию корня x
*
.
Для рассматриваемого случая выберем для метода касательных
начальное значение
0
xb1 и для метода хорд –x
0
= a. Тогда последо$
вательные приближения по методу касательных определяются фор$
мулами (1.11)
1 2
1 2
1
n
nn
n
fx
xx
fx
34
5
(n = 0, 1, 2, …), (1.20)
а по методу хорд – формулами (1.17):
12
12 1 2
1
n
nn n
n
bx
xxfx
fb fx
3
43
3
(n = 0, 1, 2, …).
На каждом шаге вычислений погрешность может быть уменьше$
на, если принять
1 2
1
.
2
nn
xxx34
Следовательно, процесс вычислений может быть прекращен,
если
11nn
xx123
, где e – заданная точность вычислений.
Описанная процедура графически показана на рис. 1.11.
Рассмотренный метод относится к случаю f'(x)>0, f"(x)>0. При
других вариантах этих неравенств для метода касательных различ$
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
