Составители:
13
что и определяет последовательность расчетных формул метода.
Можно показать, что если f(x) удовлетворяет упомянутым требова$
ниям «а», «б», «в» и начальное приближение выбрано так, что
f(x
0
)×f"(x
0
)>0, (1.12)
где f"(x
0
) = f"(x)½x = x
0
, то последовательные приближения x
0
, x
1
,...
сходятся к единственному на интервале [a, b] корню x
*
, который
может быть вычислен с любой необходимой точностью.
Точность вычислений может быть оценена с помощью соотношения
|x
n+1
– x
*
| £ | x
n+1
– x
n
|, (1.13)
из которого следует, что вычисления могут быть прекращены с получе$
нием заданной точности | x
n+1
– x
*
|£ e, когда выполняется неравенство
| x
n+1
– x
n
|£ e, (1.14)
аналогичное условию (1.10) метода последовательных приближений.
При несоблюдении условия (1.12) выбора начальной точки x
0
ме$
тод может дать неудовлетворительный результат. Например, при
выборе x
0
= a (рис. 1.6) последующее
приближение x'
1
может оказаться вне
интервала [a, b] отделения данного кор$
ня x
*
. При этом в соответствии с (1.12)
в качестве начальной следует выбрать
ту из граничных точек, в которой знаки
функции и ее второй производной совпа$
дают.
Пример 1.5
Вычислить наименьший положи$
тельный корень уравнения е
x
–3x = 0 с
четырьмя десятичными знаками (e =
= 0.0001).
Решение. Для отделения возмож$
ных положительных корней перепишем
уравнение в виде е
x
= 3x и построим гра$
фики функций y = е
x
, y = 3x (рис. 1.7),
показывающие, что имеются два поло$
жительных корня, наименьший из ко$
торых x
*
1
заключен в интервале [0, 1].
Проверяя выполнение требований
«а», «б», «в», предъявляемых к функ$
ции f(x) = е
x
– 3x, находим
Рис.1.6. Метод касательных
Рис. 1.7. Отделение
корней уравнения
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
