Введение в численные методы. Гришанова Л.И - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

12
Представляя это уравнение в
виде
5
1ln
8
xx1 2
и строя графики функций y =
= 5/8 x – 1 и y = ln x (рис. 1. 5),
приближенно находим x
*
1
»
» 0.45, x
*
2
» 3.7.
Для уточнения правого
корня x
*
2
» 3.7 методом после$
довательных приближений
находим x = 1.6(1+ln x) = j(x),
и так как в окрестности этого
корня j'(x) = 1.6/x £ 1, то про$
цесс сходится (если x
0
выбрано достаточно близко к x
*
2
).
Однако в окрестности корня x
*
1
» 0.45 j'(x)» 3.5 > 1, и процесс
расходится. Поэтому следует перейти к равносильному уравнению
относительно обратных функций x = е
0.625x–1
= Y(x).
Как видно, в окрестности корня Y'(x) = 0.625е
0.625x–1
» 0.3 < 1, и
последовательные приближения сходятся.
1.5. Метод касательных (метод Ньютона)
Пусть определен интервал [a, b], в пределах которого расположен
единственный корень x
*
уравнения (1) f(x) = 0, и функция f(x) удов$
летворяет требованиям «а», «б», «в», (см. п. 1.1). Пусть в качестве$
начального приближения выбрано значение x
0
и отвечающая ему
точка A
0
[x
0
, f(x
0
)] (рис. 1.6).
Найдем следующее приближение как точку пересечения с осью,
касательной к кривой y = f(x), проведенной в точке A
0
. Определив
таким образом новую точку A
1
[x
1
, f(x
1
)], найдем следующее прибли$
жение x
2
как абсциссу пересечения касательной в точке A
1
.
Повторяя подобные операции, построим последовательность x
1
,
x
2
,..., сходящуюся (при выполнении определенных условий) к иско$
мому корню x
*
.
Для некоторого приближения x
n
уравнение касательной, проведен$
ной в точке A
n
[x
n
, f(x
n
)], имеет вид y – f (x
n
) = f'(x
n
)(x – x
n
), и значение
x
n+1
, отвечающее следующему приближению, находится из условия
y(x
n+1
) = 0, отвечающего пересечению касательной с осью абсцисс. Отсюда
1
()
0,1,2,....),
'( )
n
nn
n
fx
xx (n
fx
1 21
(1.11)
Рис. 1.5 Отделение
корней уравнения

Страницы