Составители:
10
Если для интервала [a, b] выполняется условие
êj'(x) ê£ m < 1, (1.7)
где m – наибольшее значение êj'(x) ê на этом интервале, то погреш$
ность e n$го приближения может быть оценена неравенством
0
1
*
*
1
nx
m
xx x
m
1 23 4
3
, (1.8)
и последовательные приближения сходятся к x
*
при любом выборе
x
0
на интервале [a, b].
В том случае, когда функция j(x) выбрана в виде
j(x) = x – f(x), (1.9)
имеет место соотношение çx
n+1
– x
*
ç£ çx
n+1
– x
n
ç, из которого следует,
что при заданной точности e приближения вычисления прекращают$
ся при выполнении условия
çx
n+1
– x
n
ç £ e. (1.10)
При выполнении условия (1.7) из соотношения (1.8) следует, что
при увеличении числа n проводимых вычислений величина çx
n
– x
*
ç
неограниченно возрастает и последовательные приближения не схо$
дятся к корню x
*
(рис. 1.4, в).
Пример 1.3
Найти корень уравнения sin x – 2x+0.5 = 0, расположенный в
интервале [0, p/2], ограничиваясь точностью вычислений e £ 0.0001.
Решение. Заменим исходное уравнение равносильным, т. е.
представим его в виде (1.5).
Тогда
x = 0.25+0.5sin x = j(x),
j'(x) = 0.5cos x и | j'(x)| £ 0.5 < 1
при любых x, в частности при 0 £ x £ p/2, и условия сходимости со$
блюдены.
Формула (1.6) метода последовательных приближений принима$
ет вид
x
n+1
= 0.25+0.5sin x
n
(n = 0, 1, 2,...).
Начиная с точки x
0
= 0.5 рассматриваемого интервала, последо$
вательно находим следующие значения:
x
1
= 0.25+0.5×sin 0.5 = 0.4897,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
