Введение в численные методы. Гришанова Л.И - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

23
при вычислении производных (последний столбец табл. 1.2) значе$
ния производной f'(x) для всех точек принимаются равными началь$
ному f'(x) » f'(b) = 6.14995.
1.12. Метод последовательных приближений
для системы двух нелинейных уравнений
Пусть имеется система двух уравнений с двумя неизвестными
1 2
1 2
3
4
5
6
4
5
7
,0,
,0.
fxy
gxy
(1.21)
Ее решением называется такая пара чисел (x
*
, y
*
), которая обра$
щает уравнения (1.21) в тождество: f(x
*
, y
*
) = g(x
*
, y
*
) = 0. Каждое из
уравнений (1.21) можно «частично» решить относительно x или от$
носительно y, т. е. представить систему в виде:
12
12
3
4 5
6
7
48
6
9
,,
,.
xxy
yxy
К такой системе может быть применен метод последовательных
приближений, описанный в п. 1.3.
Выбрав начальное приближение (x
0
, y
0
), строим последователь$
ность числовых пар:
x
1
= j (x
0
, y
0
), x
2
= j (x
1
, y
1
), x
n
= j (x
n–1
, y
n–1
);
y
1
= y (x
0
, y
0
), y
2
=
y (x
1
, y
1
), y
n
= y (x
n–1
, y
n–1
).
При выполнении определенных требований к функциям j и y обе
последовательности x
n
и y
n
сходятся: x
n
® x
*
, y
n
® y
*
.
Можно доказать, что в этом случае пара (x
*
, y
*
) будет решением
исходной системы.
Условия, налагаемые на функции j и y и обеспечивающие сходи$
мость, здесь не рассматриваются. Все предлагаемые для решения зада$
чи подобраны таким образом, что последовательности приближений
сходятся. Более того, в этих задачах уравнения системы решены отно$
сительно x и y не «частично», а полностью, т. е. система имеет вид:
1 2
12
3
4 5
6
7
48
6
9
,
.
xy
yx
Процесс решения приобретает в этом случае попеременный харак$
тер. x® y® x® y®…: или y® x® y® x®…
Например, если начать с некоторого значения x
0
, то последова$
тельность примет вид

Страницы