Введение в численные методы. Гришанова Л.И - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

31
Лабораторная работа № 3
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях
Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) имеет общий
вид
Ф(x, y, y', y",..., y
(n)
) = 0,
где x – независимая переменная; y – искомая неизвестная функция
этой переменной; y', y" – производные у по x. Наивысший порядок n
этих производных определяет порядок ОДУ. Здесь будут рассматри$
ваться ОДУ первого порядка в виде
y' = f(x, y). (3.1)
Решением ОДУ (3.1) называется функция y = y(x), обращающая
его в тождество. Геометрически на плоскости ОXY решению ОДУ со$
ответствует семейство интегральных кривых y = j(x, C) (где C – про$
извольная постоянная), определяющее общее решение ОДУ. Част$
ные решения получаются из общего выбором конкретного значения
постоянной C, при этом из семейства интегральных кривых выделя$
ется одна кривая.
Нахождение частного решения уравнения (3.1), удовлетворяю$
щего начальному условию
y(x
0
) = y
0
, (3.2)
называют задачей Коши, которая сводится к определению интеграль$
ной кривой y = y(x), проходящей через заданную начальную точку
М
0
(рис. 3.1, а).
Найти аналитическое решение ОДУ удается не всегда; для мно$
гих случаев такое решение невозможно. Поэтому практически важ$
ны численные методы решения ОДУ. При численном решении за$
данный интервал независимой переменной [x
0
, x
k
] разбивается на
равные промежутки шириной h, т. е. выбирается система точек x
i
= x
0
+ih (где i = 0, 1, 2,..., k). Этим дискретным значениям x
i
соот$
ветствуют дискретные значения y
i
искомой функции y(x) (рис. 3.1,
а). В каждой точке M
i
(x
i
, y
i
) наклон касательной должен соответ$
ствовать заданному ОДУ (3.1), т. е. y'
i
= f(x
i
, y
i
). В результате по$
лучается решение в виде таблицы (рис. 3.1, б), т. е. в отличие от

Страницы