Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

которая расходится при δ → 0. Этот результат имеет смысл, так как поверхность невозможно покрыть
конечным числом прямолинейных отрезков. Можно заключить, что единственной содержательной ме-
рой множества точек, образующих поверхность в трехмерном пространстве, является площадь.
Нетрудно видеть, что множества точек, образующих кривые, могут быть закрученными так сильно,
что длина их окажется бесконечной, и, действительно, существуют кривые (кривые Пеано), заполняю-
щие плоскость. Существуют также поверхности, изогнутые столь причудливым образом, что они за-
полняют пространство. Для того чтобы можно было рассматривать и такие необычные множества то-
чек, полезно обобщить введенные меры величины множества.
До сих пор, определяя меру величины множества точек L в пространстве, мы выбирали некоторую
пробную функцию h(δ) = γ(d)δ
d
– отрезок прямой, квадрат, круг, шар или куб – и покрывали множество,
образуя меру
()
∑
δ= hM
d
. Для прямолинейных отрезков, квадратов и кубов геометрический коэффици-
ент γ(d) = 1, для кругов γ = π/4 и для сфер γ = π / 6. Мы заключаем, что в общем случае при δ → 0 мера
М
d
равна нулю или бесконечности в зависимости от выбора d – размерности меры. Размерность Хаус-
дорфа – Безиковича D множества L есть критическая размерность, при которой мера М
d
изменяет свое
значение с нуля на бесконечность
() () ()
<∞
>
→δδγ=δγ=
→δ
∑
.при
;при0
0
Dd
Dd
NddM
dd
d
(1.3)
М
d
можно назвать d-мерой множества. Значение М
d
при d = D
часто конечно, но может быть равно нулю или бесконечности; существенно, при каком именно значе-
нии d величина М
d
изменяется скачком. В приведенном выше определении размерность Хаусдорфа –
Безиковича фигурирует как локальное свойство в том смысле, что эта размерность характеризует свой-
ства множеств точек в пределе при исчезающе малом диаметре, или размере δ пробной функции, ис-
пользуемой для покрытия множества. Следовательно, фрактальная размерность D может также быть
локальной характеристикой множества. В действительности здесь существует несколько тонких пунк-
тов, заслуживающих рассмотрения. В частности, определение размерности Хаусдорфа – Безиковича по-
зволяет покрывать множество «шарами» не обязательно одного и того же размера при условии, что
диаметры всех шаров меньше δ. В этом случае d-мера есть нижняя грань, т.е., грубо говоря, минималь-
ное значение, получаемое при всех возможных покрытиях.
Знакомыми являются случаи D = 1 для линий, D = 2 для плоскостей и искривленных гладких по-
верхностей и D = 3 для шаров и других тел конечного объема. Как будет показано на многочисленных
примерах, существуют множества, для которых размерность Хаусдорфа – Безиковича не является целой
и называется фрактальной.
Определение (1.3) фрактальной размерности может быть использовано на практике. Обратимся
снова к береговой линии, изображенной на рис. 1.1. Она покрыта множеством квадратов со стороной δ,
за единицу длины принята протяженность обреза карты. Подсчитав число квадратов, необходимых для
покрытия береговой линии, получим число N(δ). Далее можно поступить так, как подсказывает формула
(1.3), и вычислить М
d
(δ) или продолжить подсчет и найти N(δ) при меньших значениях δ. Так как из
формулы (1.3) следует, что асимптотически, в пределе при малых δ:
(
)
δ
N ∼
D
δ
1
, (1.4)
можно определить фрактальную размерность береговой линии, измерив угловой коэффициент (наклон)
графика ln N (δ) как функции от
ln δ. Для береговой линии, изображенной на рис. 1.1, такой график построен на рис. 1.7. Как показыва-
ют вычисления, D ≈ 1,5. Размерность D, определяемую по формуле (1.4) путем подсчета числа клеток,
или ячеек, необходимых для покрытия множества в зависимости от размера клетки, принято называть
размерностью, определяемой по подсчету клеток, или клеточной размерностью.

Страницы