ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
гладких кривых и поверхностей, и в более сложном случае кривых, поверхностей и объемов «монст-
ров».
1.3 Фрактальная размерность
Мандельброт предложил следующее пробное определение фрактала.
Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа – Безиковича которого строго боль-
ше его топологической размерности.
Это определение в свою очередь требует определений терминов множество, размерность Хаусдор-
фа – Безиковича (D) и топологическая размерность (D
т
), которая всегда равна целому числу. Позже
Мандельброт сузил свое предварительное определение, предложив заменить его следующим.
Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны це-
лому.
Строгого и полного определения фракталов пока не существует. Дело в том, что первое определе-
ние при всей правильности и точности слишком ограничительно. Оно исключает многие фракталы,
встречающиеся в физике. Второе определение содержит существенный отличительный признак, под-
черкиваемый в данном пособии и наблюдаемый в эксперименте [4, 5]: фрактал выглядит одинаково, в
каком бы масштабе его ни наблюдать. Взять хотя бы некоторые прекрасные кучевые облака. Они состо-
ят из огромных «горбов», на которых возвышаются «горбы» поменьше, на тех – «горбы» еще меньше и
т.д. вплоть до самого малого масштаба, который вы в состоянии разрешить. На самом деле, располагая
только внешним видом облаков и не используя никакой дополнительной информации, размер облаков
оценить невозможно.
Фракталы, о которых пойдет речь далее, можно рассматривать как множества точек, вложенные в
пространство. Например, множество точек, образующих линию в обычном евклидовом пространстве,
имеет топологическую размерность D
т
= 1 и размерность Хаусдорфа – Безиковича D = 1. Евклидова
размерность пространства равна Е = 3. Так как для линии D = D
т
линия, согласно определению Ман-
дельброта, не фрактальна, что подтверждает разумность определения. Аналогично множество точек,
образующих поверхность в пространстве с Е = 3, имеет топологическую размерность D
т
= 2 и D = 2. Мы
видим, что и обычная поверхность не фрактальна независимо от того, насколько она сложна. Наконец,
шар, или полная сфера, имеет D = 3 и D
т
= 3. Эти примеры позволяют определить некоторые из рас-
сматриваемых нами типов множеств.
Центральное место в определении размерности Хаусдорфа – Безиковича и, следовательно, фрак-
тальной размерности D занимает понятие расстояния между точками в пространстве. Как измерить «ве-
личину» множества Y точек в пространстве? Простой способ измерить длину кривых, площадь поверх-
ностей или объем тела состоит в том, чтобы разделить пространство на небольшие кубы с ребром δ, как
показано на рис. 1.5. Вместо кубов можно было бы взять небольшие сферы диаметром δ. Если помес-
тить центр малой сферы в какой-нибудь точке множества, то все точки, находящиеся от центра на рас-
стоянии δ, окажутся покрытыми этой сферой. Подсчитывая число сфер, необходимых для покрытия ин-
тересующего нас множества точек, мы получаем меру величины множества. Кривую можно измерить,
определяя число N(δ) прямолинейных отрезков длины δ, необходимых для того, чтобы покрыть ее. Ра-
зумеется, для обычной кривой N(δ) = L
0
/ δ. Длина кривой определяется предельным переходом
(
)
0
0
0
δ→δδ=
→δ
LNL
.
В пределе при δ → 0 мера L становится асимптотически равной длине кривой и не зависит от δ.
Множеству точек можно поставить в соответствие и площадь. Например, площадь кривой можно
определить, указывая число кругов или квадратов, необходимых для ее покрытия. Если N(δ) – число
этих квадратов, а δ
2
– площадь каждого из них, то площадь кривой равна
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
