Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1.2 Парадокс Шварца с площадью
боковой поверхности цилиндра
Измерение площади – процедура, не всегда легко осуществимая на практике. Рассмотрим боковую
поверхность цилиндра (радиусом R и высотой Н), изображенную на рис. 1.4. Ее площадь равна А =
2πRH. Но если мы попытаемся измерить площадь боковой поверхности этого цилиндра на практике с
помощью линеек, то придется тем или иным образом триангулировать поверхность, например так, как
это показано на рис. 1.4. Разделив поверхность на m полос и N секторов, как показано на этом рисунке,
мы получим оценку площади боковой поверхности цилиндра в виде суммы A
∆
площадей всех малых
треугольников. Разбивая поверхность на все более мелкие треугольники, т.е. устремляя
N → ∞ и m → ∞, мы ожидаем, что и A
∆
→ A. Но подобный прогноз верен не всегда. Площадь всех тре-
угольников можно записать в виде
()
()
.//11
2
sin
2
1
2
cos1
2
sin
2
2
22
2
4
4
24
2
π++π→
→
π
π
π
+
π
+
ππ
π=
∞→
∞→
∆
nmHRRH
n
n
n
m
H
R
nnn
RHA
n
n
(1.2)
Рис. 1.4 Боковая поверхность цилиндра радиусом R и
высотой H равна 2πRH. Поверхность аппроксимируется
с помощью триангуляции, как показано на рисунке
Первые слагаемые здесь соответствуют треугольникам того типа, который на рис. 1.4 обозначен a
1
.
Вторые, те, что с квадратным корнем, соответствуют треугольникам, обозначенным на рис. 1.4 через a
2
.
Нетрудно видеть, что если m / N
2
→ 0 при m → ∞ и N → ∞, то суммарная площадь треугольников стре-
мится к ожидаемому пределу. Но если мы воспользуемся триангуляцией, для которой m = λN
2
, то обна-
ружим, что A
∆
> A и что в действительности А
∆
может принимать сколь угодно большие значения. Вы-
бирая m = N
β
, мы получаем A
∆
∼ N
β – 2
, при β > 2. Следовательно, когда отдельные треугольники стано-
вятся все меньше и меньше, суммарная площадь треугольников неограниченно возрастает. Вместо того,
чтобы улучшаться, аппроксимация при уменьшении величины треугольников ухудшается. К аналогич-
ным проблемам приводят и многие другие способы триангуляции. Возникающая ситуация известна под
названием парадокса Шварца с площадью боковой поверхности цилиндра. Нетрудно понять, в чем
здесь дело. При увеличении отношения m / N
2
аппроксимирующая поверхность, состоящая из треуголь-
ников, все сильнее и сильнее складывается в гармошку, и в пределе треугольники типа а
2
практически
перпендикулярны поверхности цилиндра.
Можно возразить, что возникшие трудности связаны с плохим выбором триангуляции. Но как сле-
дует выбирать «хорошую» триангуляцию, если нужно оценить площадь более сложной или неровной
поверхности? Оказывается, что для этого лучше воспользоваться методами, которые изложены в сле-
дующем разделе. Методы, о которых идет речь, применимы и в более простом случае классических

Страницы