Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ным образующим элементом. В результате получается кривая 2-го поколения, состоящая из N = 4
2
= 16
звеньев, каждое длиной δ = 3
–2
= 1/9. Длина кривой 2-го поколения равна L(1/9) = (4/3)
2
= 16/9. Заменяя
все звенья предыдущего поколения кривой уменьшенным образующим элементом, получаем новое по-
коление кривой. Кривая N-го поколения при любом конечном N называется предфракталом.
В виде исключения проследим во всех подробностях за тем, как получается выражение для D. Дли-
на предфрактала N-го поколения определяется формулой
L(δ)=(4/3)
N
.
Длина каждого звена составляет
δ = 3
-N
.
Замечая, что число поколений N представимо в виде
N = –ln δ / ln 3,
запишем длину предфрактала в виде
() ( )
[]
D
n
L
−
δ=
−δ
−==δ
1
3ln
3ln4lnln
exp3/4
. (1.5)
Формула (1.5) имеет вид приближенной формулы (1.1), в которой
D = ln 4 / ln 3 ~ 1,2628.
Число сегментов равно N(δ) = 4
N
= 4
–ln δ / ln 3
и может быть записано в виде
N(δ) = δ
–D
. (1.6)
Как будет показано дальше, D – фрактальная размерность триадной кривой Коха. Прежде всего за-
метим, что построение Коха позволяет в любом поколении получать нормальную кривую конечной
длины. Мандельброт называет такие кривые предфракталами. Но при увеличении числа поколений ве-
личина δ стремится к нулю и длина кривой расходится. Ясно, что множество точек, которое получают
как предел бесконечно большого числа итераций процедуры Коха, не является кривой, для которой
длина является удобной мерой. Но если выбрать пробную функцию h(δ) = δ
d
, то получится d-мера
(
)
(
)
(
)
dD
d
hNhM δδ=δδ=δ=
−
∑
.
Таким образом, мера М
D
остается конечной и равна единице только в том случае, если размерность
D, входящая в пробную функцию h(δ), равна D. Можно заключить, что критическая размерность и, сле-
довательно, размерность Хаусдорфа – Безиковича для триадной кривой Коха равна D = ln 4 / ln 3. На
каждой стадии построения предфракталы Коха могут быть растянуты в прямую линию, поэтому топо-
логическая размерность триадной кривой Коха равна D
т
= 1. Так как размерность Хаусдорфа – Безико-
вича D для кривой Коха больше ее топологической размерности D
т
, можно заключить, что кривая Коха
есть фрактальное множество с фрактальной размерностью D = ln 4 / ln 3.
1.5 Подобие и скейлинг
Прямая – особое множество точек в пространстве: при любом изменении масштаба мы получим то же
самое множество точек. Кроме того, если произвести над прямой параллельный перенос, снова по-
лучится то же самое множество точек. Прямая инвариантна относительно параллельного переноса и
изменения масштаба, или скейлинга, – можно сказать, что прямая самоподобна.
Зададим точки в пространстве их декартовыми координатами
х = (x
1
, x
2
, x
3
). Прямая, проходящая через точку x
0
в направлении
а = (а
1
, а
2
, а
3
,), есть множество точек L, определяемое соотношением

Страницы