Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 1.9 Построение квадратной кривой Коха
Для самоподобных фракталов размерность Хаусдорфа – Безиковича D равна D
s
, и для таких фрак-
талов мы будем опускать индекс «s» у размерности подобия.
Размерность подобия легко поддается определению для различных фракталов, получающихся с по-
мощью различных вариантов построения Коха. Рассмотрим предфрактал Коха, построенный с единич-
ным квадратом в качестве затравки и с образующим элементом, состоящим из N = 8 ломаных длиной r
= 1/4, изображенных на рис. 1.9. Эта кривая имеет размерность подобия D = – ln 8 / ln 1/4 = 3/2 и равна
размерности Хаусдорфа – Безиковича множества, получающегося после бесконечно большого числа
итераций. Однако, поскольку в качестве затравки мы используем единичный квадрат, фигура в целом не
выдерживает
преобразования подобия. Каждый фрагмент «береговой линии» самоподобен, но, если уменьшить всю
кривую в r раз, то получим уменьшенную копию оригинала, и вполне возможно, что оригинал нельзя
будет покрыть такими уменьшенными множествами. Дело в том, что фрактальная скейлинговая инва-
риантность достигается только в пределе при δ → 0, и можно заключить, что фрактальная природа кри-
вых Коха есть, строго говоря, локальное свойство. Замечательная кривая Коха изображена на рис. 1.10.
Эта кривая без самопересечений заполняет прямоугольный равнобедренный треугольник. Затравкой
служит единичный интервал, а образующий элемент, показанный на рис. 1.10, состоит из N = 2 звеньев
длиной r = 0,99 ⋅ 2/1 . Коэффициент 0,99 выбран для того, чтобы было легче проследить за структурой
кривой, так как при r = 2/1 каждое поколение выглядит просто как бумага «в клеточку».
Рис. 1.10 Треугольный невод, D = 1,944. Для нескольких первых поколений ломаных предыдущее
поколение показано штриховыми линиями.
Каждое из поколений изображено в увеличенном виде, чтобы
можно было проследить структуру кривой
Определяемое этим построением фрактальное множество имеет размерность D = –ln 2 / ln ( 2/99,0 )
= 1,944. Как видно из рис. 1.10, образующий элемент используется в двух вариантах: один сдвигает се-
редину отрезка прямой влево, другой – вправо. Кроме того, каждое новое поколение предфракталов на-
чинается с чередующихся левых и правых образующих элементов. На рис.1.10 каждое новое поколение

Страницы