Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

x = x
0
+ ta, – ∞ < t < + ∞.
Параметр t здесь любое действительное число. Если изменить масштаб длины в одно и то же число
раз r для всех компонент радиус-вектора х, точки х отобразятся в новые точки х' = rx = (rх
1
, rх
2
, rх
3
), и
мы получим новое множество точек r(L), определяемое соотношением
x' = r (x
0
+ ta) = x
0
+ t'a – (1 – r) x
0
. (1.7)
Здесь t' = rt снова любое действительное число. Если сдвинуть новое множество точек r(L), под-
вергнув все его точки параллельному переносу на величину (1 – r) x
0
, то в результате мы получим ис-
ходное множество точек L: прямая инвариантна относительно изменения масштаба длины. Прямая ин-
вариантна и относительно параллельного переноса х → х + aN, где N – любое действительное число.
Как показывают аналогичные соображения, плоскость инвариантна относительно параллельных пере-
носов в любом направлении, лежащем в ней самой, и относительно изменения масштабов длины.
Наконец, трехмерное пространство инвариантно относительно параллельных переносов в любом
направлении и относительно изменения масштабов длины.
Другие множества точек не обладают столь прочными симметриями-инвариантностью относитель-
но параллельных переносов и скейлинга. Окружность не инвариантна ни относительно параллельного
переноса, ни относительно скейлинга, а инвариантна относительно поворотов вокруг собственного цен-
тра. Фракталы также не обладают свойствами некоторых или даже всех этих простых инвариантностей.
Полезно рассмотреть ограниченные множества, такие, как конечный отрезок прямой. Отрезок прямой
не обладает трансляционной симметрией – любой сдвиг его всегда порождает новое множество точек.
Но если изменить длины в r раз, где r < 1, то получится новое множество точек L' = r(L), которое соста-
вит небольшую часть прямой. Этим отрезком прямой, подвергнув его параллельному переносу, можно
покрыть часть исходного прямолинейного отрезка L. При надлежащем выборе числа r мы можем одно-
кратно покрыть исходный отрезок N непересекающимися отрезками. Можно сказать, что множество L
самоподобно с коэффициентом подобия r. Для отрезка прямой единичной длины мы можем выбрать
r(N) = l / N, где N – любое целое число. Прямоугольный участок плоскости можно покрыть его умень-
шенными копиями, если их длины изменить в r(N) = (l / N)
1/2
раз. Аналогично прямоугольный паралле-
лепипед можно покрыть его уменьшенными копиями, если выбрать r(N) = l / N
1/3
. В общем случае мас-
штабный множитель следует выбирать равным
r(N) = (l / N)
1/d
. (1.8)
Размерность подобия d для прямых, плоскостей и кубов равна соответственно 1, 2 и 3.
Рассмотрим теперь кривую Коха на рис. 1.8. С масштабным множителем r = 1/3 мы получаем пер-
вую треть всей кривой. Нам необходимо N = 4 таких фрагментов, чтобы покрыть исходное множество
его уменьшенными копиями, подвергая их повторным параллельным переносам и поворотам. Мы мо-
жем также выбрать масштабный множитель r = (1/3)
N
и покрыть исходное множество его N = 4
N
умень-
шенными копиями. Как было показано, для триадной кривой Коха масштабный множитель определяет-
ся выражением
r(N) = (l / N)
1/D
(1.9)
с размерностью подобия D
s
, равной размерности Хаусдорфа – Безиковича
D
s
= ln 4 / ln 3.
В общем случае размерность подобия D
s
определяется выражением
D
s
= –ln N / ln r(N). (1.10)

Страницы