Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ожидание имеет постоянное значение, а корреляционная функция зависит от разности аргументов τ = t
2
– t
1
.
Для этого случая корреляционные функции первого (математическое ожидание) и второго порядков
случайной интенсивности на основании (3.14) записываются в виде
k
i
= g
i
= f
i
= λ = const; (3.15)
k
2
(τ) = λδ(τ) + g
2
(τ), (3.16)
где λ – принятое в теории фрактальных процессов обозначение интенсивности точечного процесса.
Как уже ранее отмечалось, функция корреляции плотности отражает наличие статистических связей
между моментами появления точек. Учет этой функции приводит к разным моделям точечных процес-
сов, в том числе и к тем, которые описывают поведение сетевого трафика. Отметим, что для пуассонов-
ского точечного процесса из-за статистической независимости моментов появления точек g
2
(τ) = 0 и
статистики случайной интенсивности принимают вид
k
1
= λ, k
2
(τ) = λδ(τ).
Используя (3.11), с учетом f
2
(t
1
, t
2
) = f(t
2
|t
1
) f
1
(t
1
) представим функцию g
2
(τ) в форме
g
2
(τ) = f
2
(t
1
, t
2
) – f
1
2
= λ [f (t
2
|t
1
) – λ] = λ[f (τ) – λ],
так как для стационарных процессов f
(t
2
|t
1
) = f
(t
2
– t
1
) = f
(τ).
Условная функция плотности f
(τ) характеризует вероятность появления точки в окрестности мо-
мента времени t
2
при условии существования точки в момент t
1
, t
2
> t
1
. Ее можно определить из инте-
грального уравнения восстановления, которое для стационарных точечных процессов имеет вид [18]
() () ( ) ()
∫
τ
−τψ+τψ=τ
0
dttftf . (3.17)
Здесь ψ(τ) – плотность распределения вероятностей временных интервалов между точками. Таким
образом, задаваясь этой функцией, можно из уравнения (3.17) определить условную функцию плотно-
сти f
(τ), а на основании ее – функцию g
2
(τ) и соответственно корреляционную функцию случайной ин-
тенсивности k
2
(τ) (3.16).
По этой функции находят остальные статистики сетевого трафика: спектральную плотность слу-
чайной интенсивности, а также корреляционную функцию и дисперсию числа отсчетов. Если для функ-
ции ψ(τ) существует преобразование Лапласа – ψ(s), то, применяя к обеим частям уравнения (3.17) это
преобразование, после упрощений получаем
()
(
)
()
s
s
sF
ψ−
ψ
=
1
. (3.18)
Осуществляя обратное преобразование, определяют по F
(s) условную плотность f
(τ). Можно пред-
ложить более общий путь определения этой функции. Учитывая |ψ(s)| < 1, соотношение (3.18) предста-
вим как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем,
равными
() () ()
∑
∞
=
ψ=ψ
1
:
k
k
ssFs .
Осуществляя обратное преобразование Лапласа, получаем
() ()
∑
∞
=
τψ=τ
1k
k
F , где ψ
k
(τ) определяется че-
рез интеграл свертки
() ( ) ( )
τ
′
τ
′
−τψτ
′
ψ=τψ
∫
τ
−
d
kk
0
1
, k ≥ 2 и ψ
1
(τ) = ψ(τ).

Страницы