Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

• спектральная плотность, соответствующая этой функции S
N
(ω);
• корреляционная функция числа отсчетов С(k, Т);
• нормированная корреляционная функция числа отсчетов (коэффициент корреляции) r(k, T);
• нормированная дисперсия числа отсчетов (фактор Фано) F(T).
Моментная функция второго порядка случайной интенсивности точечного процесса по определе-
нию равна
()
{
}
2
0
lim
t
NNM
G
tt
t
N
∆
∆∆
=τ
τ+
→∆
,
где ∆N
t
характеризует появление по крайней мере одной точки в бесконечно малом интервале (t – ∆t, t);
τ – интервал времени между событиями появления точек.
На основании соотношений (3.5) и (3.16) эта функция через рассмотренную в разделе 3.2 корреля-
ционную функцию случайной интенсивности k
2
(τ) выражается следующим образом
G
N
(τ) = m
2
(τ) = k
2
(τ) + λ
2
= λδ(τ) + g
2
(τ) + λ
2
= λδ(τ) + R
I
(τ), (3.27)
где составляющую R
I
(τ) = g
2
(τ) + λ
2
можно интерпретировать как моментную функцию модулирующего
точечный процесс сигнала I(t).
Особенностью этого сигнала является то, что он порождает корреляционные функции с протяжен-
ной зависимостью, приводящие к большому числу комбинаций фрактальных процессов со свойствами
самоподобия. В силу указанной интерпретации такие процессы также называют двойным стохастиче-
ским пуассоновским процессом или точечным процессом с двойной случайностью (одна случайность
порождена пуассоновским процессом, другая – сигналом I(t)). Отметим, что модуляция точечного про-
цесса другими сигналами, например, марковскими с экспоненциальной корреляционной функцией,
имеющей короткопротяженную зависимость, порождает модели процессов, не обладающие фракталь-
ными свойствами и поэтому не адекватные поведению сетевого трафика.
Форму записи функции корреляции плотности g
2
(τ) или, что тоже самое, корреляционной функции,
модулируемой сигналом I(t) составляющей случайной интенсивности, можно получить разными мето-
дами. Согласно одному из них эту функцию определяют через интеграл свертки
() ( ) ()
ττξτ−=
∫
∞
dthtI
0
, (3.28)
где h(t) = Kt
α/2 – 1
– импульсная переходная функция степенного вида; ξ(t) – воздействующий стационар-
ный импульсный пуассоновский процесс с интенсивностью λ; α – фрактальный параметр (0 < α < 1).
На основании теоремы Кембелла о суперпозиции независимых случайных воздействий [16, 22] для
области t > 0 (t – τ > 0) эта функция с учетом (3.28) определяется из выражения
() ()( ){} ()()
()
∫∫
∞
−α
∞
τ+λ=τ+λ=λ−τ+=τ
′
0
12/
22
0
2
2
dtttKdtththtItIMg .
После замены z = t/τ приходим к табличному интегралу. В результате получаем
() ( )
()
(
)
()
2/1Г
1Г2/Г
1
0
12
12/
12/12
2
α−
α−α
τλ=+τλ=τ
′
∫
∞
−α
−α
−α−α
KdzzzKg
, (3.29)
где Г(⋅) – гамма-функция.
Принимая во внимание, что корреляционная функция является четной функцией своего аргумента,
и присоединяя к (3.28) результат интегрирования по области t < 0 (t – τ < 0), получаем окончательно
()
1
0
2
2
−α
τ
τ
λ=τ
g
, (3.30)

Страницы