Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(){} (){}
0
0
=ττ=
∫
dnMtBM
t
t
; (4.4)
()
{}
()(){}
0,
02121
2
00
>=ττττ=
∫∫
ttNddnnMtBM
t
t
t
t
; (4.5)
() (){()
()
.0,0,,min
,
,
,
21210
1220
2110
2121212
2
0
1
0
>>=
=
<
≤
=ττττ=
∫∫
ttttN
tttN
tttN
ddnnMttk
t
t
t
t
B
(4.6)
Очевидно, корреляционную функцию винеровского процесса можно также представить для поло-
жительных t
1
и t
2
в виде
•
()
()
1221
0
212
2
, tttt
N
ttk
B
−−+= . (4.7)
Плотность распределения винеровского процесса имеет вид
()()
()
0,
2
exp
2
1
2
0
>
−
π
= t
D
tB
tN
tBp
. (4.8)
Рассмотрим некоторые свойства приращений винеровского процесса: их некоррелированность на
неперекрывающихся интервалах времени и самоподобие.
Для моментов времени t
2
> t
1
> t
0
> 0 имеем
() () ()
ττ=−
∫
dntBtB
t
t
1
0
01
. (4.9)
Отсюда на основании (4.4) и (4.5) математическое ожидание и версия приращения винеровского
процесса соответственно равны:
M{B(t
1
) – B(t
0
)} = 0;
M{(B(t
1
) – B(t
0
))
2
} = N
0
(t
1
– t
0
) ∼ t
1
– t
0
. (4.10)
Взаимная корреляционная функция приращений при выполнении условия (4.9) на основании (4.6)
равна
M{[B(t
2
) – B(t
1
)][B(t
1
) – B(t
0
)]} = k(t
1
, t
2
) – k
2
(t
1
, t
1
) – k
2
(t
2
, t
0
) + k
2
(t
1
, t
0
) =
= N
0
t
1
– N
0
t
1
– N
0
t
0
+ N
0
t
0
= 0.
Таким образом, приращения процесса B(t) некоррелированы и, поскольку имеют гауссовское рас-
пределение, они также независимы.
Перейдем к рассмотрению свойств самоподобия. Плотность распределения приращений винеров-
ского процесса при B(t
0
) ≠ 0 имеет вид
() ( )
[]
()
[]
()
(
)
[]
()
−
−
−−π=−
−
00
2
0
2/1
000
2
exp2
ttN
tBtB
ttNtBtBp
. (4.11)
Изменим масштаб времени в b раз. Ввиду того, что дисперсия процесса также увеличивается в b раз
– N
0
b(t – t
0
), для обеспечения нормировки плотности распределения на единицу необходимо увеличить

Страницы