Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

приращение винеровского процесса в b
1/2
раз, т.е. изменить масштаб координаты в такое же число раз
b
1/2
.
()
[]
() ( )
[]
{}
()
.
2
exp2
)}]()({[
00
2
0
2/1
2/1
00
0
2/1
−
−
−−π=
=−
−
ttbN
btBbtBb
ttbN
btBbtBbp
(4.12)
Очевидно, что плотности (4.11) и (4.12) связаны соотношением b
1/2
p[b
1/2
{B(bt) – B(bt
0
)}] = p[B(t) –
B(t
0
)], выражающим условие самоподобия: плотность вероятности отмасштабированного винеровского
процесса, умноженная на коэффициент b
1/2
, не зависит от выбранного масштаба времени. Как следует
из полученного результата, изменение масштаба времени в b раз сопровождается изменением масштаба
приращения координаты винеровского процесса в b
1/2
раз и свойство самоподобия можно записать так-
же в форме:
b
–1/2
[B(bt) – B(bt
0
)] = B(t) – B(t
0
).
4.2 Моделирование сетевых процессов
фрактальным броуновским движением
Приведенные выше модели процессов описывали классическое броуновское движение. Как уже от-
мечалось ранее, многие природные явления не укладываются в рамки традиционных моделей, в том
числе в модели винеровского процесса. Для описания этих явлений, обладающих фрактальными свой-
ствами, в работе [23] было введено обобщенное броуновское движение, которое по определению
записывается в форме дробного интеграла
() ()()
ττ−
+Γ
∫
∞−
dBth
Н
tB
е
H
2
1
1
, (4.13)
где dB(τ) – приращение винеровского процесса; Г(⋅) – гамма-функция; Н – введенный в разд. 2 параметр
Херста.
Импульсная переходная функция равна
()
()
() ()
<ττ−−τ−
≤τ≤τ−
=τ−
−−
−
.0,
;0,
2/12/1
2/1
HH
H
t
tt
th
(4.14)
Использование в формуле (4.14) импульсной переходной функции степенного вида (4.14) приводит
к сильной коррелированной зависимости процесса В
Н
(t) от предшествующих его значений, а также ука-
зывает на самоподобный характер фрактального броуновского движения. На основании соотношения
h(bt – bτ) = b
H – 1/2
h(t – τ), а также зависимости для винеровского процесса dB(bτ) = b
1/2
dB(τ) из формулы
(4.13) получаем B
H
(bt) = b
H
B
H
(t) или
b
–H
B
H
(bt) = B
H
(t), (4.15)
что подтверждает самоподобный характер фрактального броуновского движения. Для приращений это-
го процесса математическое ожидание и дисперсия на основании (4.13) с учетом свойств винеровского
процесса M{dB(T)} = 0, M{dB(τ
1
)dB(τ
2
)} = M{n(τ
1
)n(τ
2
)}dτ
1
dτ
2
= N
0
δ(τ
2
– τ
1
)dτ
1
dτ
2
соответственно равны
M{B
H
(t) – B
H
(t
0
)} = 0; (4.16)
M{[B
H
(t) – B
H
(t
0
)]
2
} ∼ (t – t
0
)
2H
. (4.17)
Отметим также, что как для классического, так и для фрактального броуновского движения диспер-
сии приращений растут с увеличением разности t – t
0
.

Страницы