Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Определим нормированную корреляционную функцию (коэффициент корреляции) стационарных
приращений фрактального броуновского движения для двух соседних неперекрывающихся знаковой
длительности интервалов времени (t
0
, t
1
) и (t
1
, t
2
):
()
})]()({[
)]}()([)]()({[
2
01
1201
tBtBM
tBtBtBtBM
tr
HH
HHHH
H
−
−−
=
или при В
H
(t
0
) = 0
)}({
)}({)}2()({
)(
2
2
tBM
tBMtBtBM
tr
H
HHH
H
−
=
. (4.18)
Прибавляя и вычитая в каждом из сомножителей первого слагаемого (4.18) соответственно B(2t) и
B(t), после перемножения и приведения подобных членов получаем
.21
)}({
)}2()({
)}({
)}2({
1
)}({
)]}()()2()][2()2()({[
22
2
2
−
−−=
=−
+−+−
=
tBM
tBtBM
tBM
tBM
tBM
tBtBtBtBtBtBM
r
H
HH
H
H
H
HHHHHH
H
(4.19)
Принимая во внимание, что соотношение в квадратных скобках в выражении (4.19) на основании
(4.18) равно r
H
(t), а также учитывая (4.17), имеем окончательно
r
H
(t) = 2
2H–1
– 1. (4.20)
Если (4.20) домножить на M{B
2
H
(t)} ~ t
2H
, то приходим к корреляционной функции приращений на
интервалах (0, t) и (t, 2t) фрактального броуновского движения
K
2H
(t) ≈ (2
2H – 1
– 1)t
2H
.
Это выражение указывает на сильную корреляционную зависимость приращений, увеличивающую-
ся с ростом t.
Заметим, что при Н = 1/2 процесс (4.13) становится винеровским (4.1) с дисперсией и корреляцион-
ной функцией приращений, равными ответственно (4.10) и нулю. Используя аналогичный подход, мож-
но от характеристик винеровского процесса перейти к характеристикам фрактального броуновского
движения. Например, знание кореляционной функции (4.7) позволяет записать корреляционную функ-
цию фрактального броуновского движения в форме
K
2H
(t
1
, t
2
) ∼ 1/2[t
1
2H
+ t
2
2H
– |t
1
– t
2
|
2H
]. (4.21)
Коэффициент корреляции для стационарных приращений фрактального броуновского движения на ин-
тервалах (t
n
, t
n
– T) и (t
n + k
, t
n + k
– T) заданной длительности Т, разнесения на время kT, где k – параметр
смещения, можно представить, как и для счетных характеристик, выражением
()
Tkr
H
, ∼
() ()
[
]
1
1
1
121
2
1
+α
+α
+α
−+−+ kkk .
При k = 1, что соответствует корреляционной зависимости для приращений процесса на соседних
интервалах времени, а также учитывая соотношение α = 2Н – 1, получаем (4.20). При больших значени-
ях k коэффициент корреляции аппроксимируется выражением (3.45)
(
)
Tkr
H
, ∼
() ( )
221
121
2
1
−−α
−=+αα
H
kHHk . (4.22)
Из этого выражения следует, что чем больше параметр Н, тем более протяженной зависимостью
обладает r
H
(k, T).

Страницы