Фрактальный анализ и процессы в компьютерных сетях. Громов Ю.Ю - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

где S(ω) =
λ+
ω
ω
λ
α−
0
– спектральная плотность центрированной составляющей случайной интенсивности.
Обратим внимание на своеобразный характер поведения спектральной плотности S(ω) для фрактальных процессов: ее
ограниченное увеличение при ω → 0: S(ω) ∼ |ω|
–α
.
Используя формулы (3.33) и (3.39), получаем соотношение, связывающее параметры Т
0
и ω
0
:
ω
0
α
T
0
α
= cos (πλ/2) Г(α + 2). (3.42)
Параметры Т
0
, τ
0
и ω
0
определяют границы изменения статистик, в пределах которых эти статистики приобретают ха-
рактер протяженной зависимости. Ввиду их взаимного однозначного соответствия далее используется один из них – параметр
Т
0
(фрактальное время установки).
Используя формулы (3.34) и (3.37), введем нормированную корреляционную функцию (коэффициент корреляции) чис-
ла отсчетов.
()
(
)
()
() ()
[
]
1
1
1
0
121
)(2
;
;
+α
+α
+α
αα
α
−+−+
+
== kkk
TT
T
TD
TkC
Tkr , (3.43)
|r(k, T)| ≤ 1.
Представим выражения (k + l)
α + 1
и (k – l)
α + 1
при k >> l в виде трех членов разложения:
() () ()
11
1
1
2
1
11
+αα+α
+α
+αα++α+≈+ kkkk ;
() () ()
11
1
1
2
1
11
−αα+α
+α
+αα++α−≈− kkkk .
После подстановки полученных выражений в соотношение (3.43) и упрощения приходим к коэффициенту корреляции,
поведение которого (точнее поведение его «хвоста») аппроксимируется выражением
(
)
Tkr ; ∼
(
)
1
0
12
1
−α
α
+
+αα
k
T
T
. (3.44)
Полученное соотношение ясно указывает на атрибуты фрактального процесса – протяженную зависимость и самоподо-
бие (масштабируемость). Причем эти свойства проявляются тем интенсивнее, чем больше интервал отсчета Т по отношению
к фрактальному времени установки T
0
. В этом случае принято говорить об асимптотическом самоподобии в том смысле, что
коэффициент корреляции сохраняет свою структуру при Т >> Т
0
и зависит от убывающего с дробным показателем степени
масштабируемого параметра k:
(
)
Tkr , ∼
()
1
1
2
1
−α
+αα k . (3.45)
Нетрудно заметить, что если в уравнении (2.12) для этого случая время заменить на параметр смещения k, то коэффициент
подобия и размерность подобия соответственно равны r
L
= N
1/β
, β = l – α = ln N / ln r
L
.
Ввиду того, что спектральная плотность случайной интенсивности является степенной функцией |ω| с показателем, рав-
ным фрактальному параметру α, взятым с обратным знаком, спектральная плотность числа отсчетов (приращения точечного
процесса) на основании (3.24) также оказывается степенной функцией |ω| и при ω → 0 неограниченно увеличивается как
S
T
(ω) ∼ |ω|
-α
. (3.46)
Свойство самоподобия обнаруживается у агрегированного счетного процесса. Указанный процесс формируется как по-
следовательность средневзвешенных величин из отсчетов Х
n
на m одинаковых неперекрывающихся интервалах длительно-
стью Т:
() ()
{}
()
+⋅⋅⋅+
+⋅⋅⋅+
===
++
m
XX
m
XX
kXX
mkkm
m
m
k
m
11
1
...,,...,1,0; ,
(3.47)
где m и k – соответственно параметры агрегирования и смещения,
()
(
)
∑
+
+=
==
mk
kmn
n
m
k
mX
m
X
1
1
...,2,1,
1
Для агрегированного процесса статистики второго порядка имеют вид:
()
()
()
()
()
()
mTkCmdkTmGmTmTkC
N
mT
mT
m
,,
222 −
−
−
=τλ−τ−τ−=
∫
;

Страницы