Надежность информационных систем. Громов Ю.Ю - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Обычно γ
'
и γ
"
выбирают одинаковыми, так что γ
'
= γ
"
= γ / 2 = (1 – δ) / 2.
Односторонними
(
верхним
и
нижним
)
доверительными интервалами
называют соответственно интервалы (0,
в
Q
) и
(
н
Q
, 1) – такие, что
в
(0 )
P Q Q
< < ≥ δ
;
н
( 1)
P Q Q
< < ≥ δ
.
Здесь уровень значимости γ =
1
− δ
выражает вероятность того, что число
Q
(
t
) попадёт в интервал(
в
Q
, 1) при верхнем
интервале и в интервал (0,
н
Q
) – при нижнем.
Доверительную вероятность нельзя выбирать слишком малой, так как снижается доверие к полученным границам и
увеличивается риск сделать неверное заключение. Нельзя выбирать её и слишком близкой к единице, так как чем ближе δ к
единице, тем шире границы для неизвестной вероятности. Опыт использования статистических методов показывает, что для
практических целей достаточно брать δ из диапазона 0,8 ... 0,95. Иногда коэффициент доверия увеличивают до значения 0,98
или 0,99.
Правила вычисления
н
Q
и
в
Q
были предложены в начале 30-х годов XX в. английскими статистиками К. Клогшером и
Э. Пирсоном [1]. Поскольку испытания различных образцов одного и того же изделия происходят независимо друг от друга,
число
т
отказавших за время
t
изделий распределено по биномиальному закону с параметрами
N
и
Q
, т.е. вероятность отказа
ровно
m
изделий из
N
определяется формулой:
(1 ) .
N
P m C Q Q
−
ξ = = −
Вероятность же отказа не более
т
изделий равна:
0
( , , ) (1 )
m
i i N i
N
i
P m B m Q N C Q Q
−
=
ξ ≤ = = −
∑
. (8.1)
Здесь
m
– варианта, а
N
и
Q
– параметры распределения. Функция (8.1) является ступенчатой функцией
m
,
изменяющейся от нуля до единицы при увеличении
m
от нуля до
N
. Если построить семейство распределений
у
при одном и
том же
N
, но различных
Q
, и для удобства изображения сгладить ступенчатые функции непрерывными кривыми, то получим
семейство зависимостей, приведённое на рис. 8.4.
Рис. 8.4. Определение доверительных границ параметра биномиального распределения с помощью принципа
Клоппера–Пирсона
В этом семействе параметр
Q
увеличивается в направлении, указанном стрелкой. Если теперь провести перпендикуляр
через точку
т
, где
т
– наблюдаемое при испытаниях число отказов, и две горизонтальные прямые на уровне γ
'
и 1 – γ
"
, а затем
подобрать две кривые семейства, которые проходили бы через точки пересечения
а
и
б
, то параметры этих кривых и дают
нижнюю и верхнюю доверительные границы с коэффициентом доверия 5 = 1 – γ
'
– γ
"
. Два уравнения, составленные для
точек
а
и
б
, называют уравнениями Клоппера–Пирсона, они могут быть использованы для определения доверительных
границ:
в в
0
(1 )
m
i i N i
N
i
C Q Q
−
=
′
− = γ
∑
; (8.2)
н н
0
(1 )
m
i i N i
N
i
C Q Q
−
=
′′
− = γ
∑
. (8.3)
Учитывая, что
0
(1 ) 1,
m
i i N i
N
i
C Q Q
−
=
− =
∑
вместо (8.3) можем записать:
1
н н
0
(1 ) 1
m
i i N i
N
i
C Q Q
−
−
=
′′
− = − γ
∑
. (8.4)
a
б

Страницы