Надежность информационных систем. Громов Ю.Ю - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

При
т
= 0 нижняя граница
н
Q
= 0, а верхняя получается из (8.2):
в
(1 ) ' 1
N
Q
− = γ = − δ
.
Отсюда
в
1 1
N
Q
= − − δ
. (8.5)
Пример 8.1. При испытаниях 10 комплектов аппаратуры в течение 1000 ч не было обнаружено ни одного отказа.
Найти доверительные границы для вероятности безотказной работы аппаратуры в течение 1000 ч при коэффициенте доверия
0,9.
Решение
. Поскольку при испытаниях не предусмотрено восстановление работоспособности, а время испытаний
совпадает с интервалом времени эксплуатации, заключаем, что план испытаний является планом типа [
N
,
Б
,
t
]. Так как во
время испытаний не возникло ни одного отказа, используем формулу (8.5) и находим:
в
Q
=1 – 10
–0,1
= 1 – ехр (–0,23) = 0,206.
Таким образом, при отсутствии отказов в 10 комплектах с гарантией 90% можно утверждать, что вероятность отказа не
более 0,206.
Пример 8.2. Какое количество изделий необходимо поставить на испытания по плану типа [
N
,
Б
,
t
], чтобы с
гарантией 90% утверждать, что вероятность безотказной работы не ниже 0,9?
Решение
. Наименьшее количество изделий потребуется, когда
т
= 0. Тогда из (8.5) находим
N
= lg (l – 5) / lg
Р
н
.
Подставляя сюда δ = 0,9 и
н
P
= 0,9, находим
N
= 22. Если же δ = 0,95 и
н
P
= 0,95, то
N
= = 59, а при δ = 0,95 и
н
P
= 0,99
необходимое число изделий
N
= 299.
Из примеров 8.1 и 8.2 видно, что подтвердить даже не очень высокие показатели надёжности не так-то просто.
Значительно проще иногда удовлетворить требованию заказчика о 100% безотказности при наблюдении за небольшой
группой изделий, чем доказать методами математической статистики, что фактическая вероятность безотказной работы не
ниже 0,9.
Точное решение задачи о доверительном интервале в некоторых случаях получить затруднительно. Это объясняется
сложностью непосредственного решения уравнений Клоппера–Пирсона, а также ограниченностью опубликованных таблиц
биномиального распределения.
В таких случаях для расчётов, не требующих высокой точности, можно находить приближённые решения, основанные
на использовании распределения Пуассона и нормального распределения. Рассмотрим три такие возможности.
Пуассоновское приближение. Если
Q
мало,
N
велико и
m
<<
N
, то справедливо выражение
(1 ) ,
!
m
m m N m a
N
a
m
− −
− ≈ =
. (8.6)
С помощью (8.6) уравнения (8.2) и (8.4) преобразуются следующим образом:
в
в
0
!
i
m
a
i
a
e
i
−
=
′
= γ
∑
; (8.7)
н
1
н
0
!
i
m
a
i
a
e
i
−
−
=
′′
= γ
∑
. (8.8)
Для определения
а
н
и
а
в
можно использовать таблицы распределения Пуассона. Для входа в таблицу необходимо задать
варианту
m
и вероятность γ
"
и найти параметр распределения
а
в
. Аналогично по значениям (
m
– 1, 1 – γ
"
) определяют
а
н
, а
затем делением на
N
вычисляют границы
н
Q
и
в
Q
. Вместо таблиц распределения Пуассона можно использовать таблицы
квантилей χ
2
-распределения, используя тот факт, что квантиль χ
2
-распределения и по уровню вероятности
р
при числе
степеней свободы
k
= 2
m
+ 2 связана с параметром
а
распределения Пуассона, найденным по значениям
р
и
m
,
соотношением
и
(
р
, 2
m
+ 2) = = 2
а
(
р
,
m
). Учитывая (8.7) и (8.8), находим:
в
1
( , 2 2)
2
Q u m
N
′
= γ +
;
н
1
(1 , 2 )
2
Q u m
N
′′
= − γ
. (8.9)
Пример 8.3. При испытании 100 источников стабилизированного питания в течение 2000 ч было зарегистрировано два
отказа. Найти доверительные границы для вероятности отказа одного источника за время 2000 ч с коэффициентом доверия
0,9.
Решение
. Поскольку здесь число отказов значительно меньше числа испытываемых изделий и точечная оценка
Q
=
0,02 свидетельствует о том, что вероятность отказа мала, для решения задачи используем пуассоновское приближение. По
исходным данным определяем γ
'
= (1 – 0,9) / 2 = 0,05, 1 – γ
"
= 0,95. Из таблицы 7 в [50] при
d
=
n
– 1 = 1 и
а
= 1 – γ
"
= 0,95

Страницы