Надежность информационных систем. Громов Ю.Ю - 73 стр.

UptoLike

Решение
. Согласно исходным данным,
1
(1 ) 2 0,95
δ = + δ =
,
m
= 12,
N
= 500,
z
δ
=
1,645. Подставляя эти значения в
(8.13), находим:
0,0141 <
Q
< 0,0392. Точечная оценка
Q
= 0,024.
8.5. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА.
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ
Пусть известно, что изделия имеют экспоненциальное распределение наработки до первого отказа
F
(
t
) =1 – ехр (λ
t
).
Необходимо оценить параметр этого распределения λ, имеющий смысл интенсивности отказов. В математической
статистике предлагается несколько методов для получения точечной оценки параметра
А
. Одним из наиболее
распространённых и эффективных методов является метод максимального правдоподобия, предложенный английским
статистиком Р.А. Фишером в 1912 г. Сущность метода состоит в следующем [67].
Пусть в результате испытаний, проведённых по некоторому плану, зарегистрированы отказы в моменты
1 2
, , ...,
m
t t t
.
Число
т
может быть заранее заданным или случайным (в частности,
т
= 0), однако времена
i
t
являются случайными
величинами. Поэтому вектор
X
= (
1 2
, , ...,
m
t t t
) можно рассматривать как реализацию многомерной случайной величины.
Если известна функция распределения наработки одного изделия
F
(
t
,
А
), зависящая от совокупности параметров
А
= (
1 2
k
a a a
) (в частности, от одного параметра), постольку для каждого конкретного плана испытаний можно
составить элемент вероятности того, что в испытаниях будут получены отказы в моменты
i
t
.
{
}
1 1 1 1 1 2 1 2
, ..., ( , , ..., , ) ... ,
m m m m m m
P t T t dt t T t dt p t t t A dt dt dt
< + < + =
где
1 2
( , , ..., , )
m
p t t t A
многомерная плотность распределения случайного вектора
1 2
( , , ..., )
m
T T T
. Если зафиксировать
i
t
такими, какими они оказались на самом деле при испытаниях, и изменять значения параметров
А
в некотором интервале, то
заметим, что плотность
1 2
( , , ..., , )
m
p t t t A
имеет максимум. Согласно методу максимального правдоподобия, точечная оценка
1 2
( , , ..., )
k
A a a a
=
параметров
1 2
k
a a a
должна обладать следующим свойством: обеспечивать максимальное значение
плотности вероятности наблюдаемого исхода испытаний, т.е.
1 2 1 2
( )
( , , ..., , ) max ( , , ..., , )
m m
A
p t t t A p t t t A
=
.
На практике удобнее отыскивать не максимум функции
р
(
А
), а максимум ln
p
(
A
). Такая замена допустима, так как оба
максимума достигаются в одной и той же точке. Функция
L
= ln
p
(
A
) называется функцией правдоподобия. С её помощью
задача определения точечной оценки ставится так:
A
должно обеспечивать максимальное значение функции
L
, т.е.
1 2 1 2
( )
( , , ..., , ) max ( , , ..., , )
m m
A
L t t t A L t t t A
=
.
Точка
1 2
( , , ..., )
k
A a a a
=
в области
А
, обеспечивающая
( )
max
A
L
, находится методом градиента, согласно которому
А
является решением системы уравнений правдоподобия
1 2 1 2
( , , ..., , , , ..., ) 0, 1, ..., .
m k
i
d
L t t t a a a i k
da
= =
В частности, в случае однопараметрического экспоненциального распределения необходимо решить только одно
уравнение,
1 2
( , , ..., , ) 0.
m
d
L t t t
d
λ =
λ
Рассмотрим конкретные планы испытаний и найдём точечные оценки [63].
План [
N
,
В
,
Т
]. Поскольку испытания проводятся с немедленной заменой отказавших изделий работоспособными и
заканчиваются в момент
Т
, мы учитываем, что интервалы между отказами распределены по экспоненциальному закону с
одним и тем же параметром
NX
, а в интервале (
m
t
, γ) все изделия проработали безотказно. Составим выражение для
элемента вероятности наблюдаемого исхода испытаний:
1 2
1 2 1 2 1 2
( , , ..., , ) ... ( )( )...( )
N t N t N tm
m m m
f t t t dt dt dt N e dt N e dt N e dt
λ λ λ
λ = λ λ λ ×
( )
1 2
( ) ... .
m
N T t
m N T
m
e N e dt dt dt
λ
λ
× = λ
Отсюда
L
=
m
ln (
N
λ)
N
λ
T
. Уравнение правдоподобия
0
dL m
NT
d
= =
λ λ
. Отсюда точечная оценка