Надежность информационных систем. Громов Ю.Ю - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.
m NT
λ =
(8.15)
Из (8.15) следует, что достаточной статистикой испытаний является число отказавших изделий
т
. Исследуем
следующие свойства полученной оценки:
несмещённость
,
состоятельность
,
эффективность
.
В математической статистике показывается, что при достаточно общих условиях, накладываемых на функцию
распределения наработки на отказ одного изделия
F
(
t
,
А
), оценка максимального правдоподобия эффективна независимо от
плана испытаний. Поэтому остаётся проверить несмещённость и состоятельность.
Достаточная статистика
т
распределена по закону Пуассона с параметром
N
λ
T
, поэтому её математическое ожидание и
дисперсия
Mm
= =
Dm
=
N
λ
T
. Тогда из формулы (8.15) находим:
m Mm N T
M M
NT NT NT
λ
λ = = = = λ
,
2 2 2
,
( )
( ) ( ) ( )
B
m Dm N T
D D
NT S T
NT NT NT
λ λ λ
λ = = = = =
где
( )
B
S T
– суммарная наработка всех изделий за время испытаний по плану типа
В
. Отсюда следует, что точечная оценка
(8.15) является несмещённой и эффективной.
План [
N
,
Б
,
T
]. Поскольку испытания проводятся без замены отказавших изделий, число работоспособных изделий
после каждого отказа уменьшается на единицу и на λ уменьшается суммарная интенсивность отказов. Согласно плану
испытаний, элемент вероятности
1 2
1 2 1 2 1 2
N t N t
m m
f t t t dt dt dt N e dt N e dt
− λ − λ
λ = λ − λ ×
( 1) ( ) ( )
( )
... (( 1) ) ,
m m
Б
N m t N m T t S T
m m
m N
N m e dt e A e
− − + λ − − λ − −λ
× − + λ = λ
где
m
N
A
–
число
размещений
из
N
элементов
по
т
;
( )
Б
S r
–
суммарная
наработка
всех
изделий
за
время
испытаний
по
плану
типа
Б
,
определяемая
по
формуле
1 0
1
( ) ( 1)( ) ( )( ), 0.
m
Б i i m
i
S t N i t t N m T t t
−
=
= − + − + − − =
∑
Функция
правдоподобия
ln ln ( ).
m
N
Б
L A m S T
= + λ − λ
Уравнение
правдоподобия
( ) 0.
Б
dL m
S T
d
= − =
λ λ
Точечная
оценка
λ =
m
/
( )
Б
S T
.
В
достаточную
статистику
здесь
входят
уже
две
величины
:
число
отказов
m
и
суммарная
наработка
( )
Б
S T
.
Чтобы
определить
суммарную
наработку
,
необходимо
точно
фиксировать
моменты
всех
отказов
,
т
.
е
.
для
получения
точечной
оценки
здесь
впервые
потребовались
моменты
всех
отказов
.
План
[
N
,
В
,
r
].
Времена
между
соседними
отказами
1 2
( , , ..., )
r
Z Z Z
имеют
экспоненциальные
распределения
с
параметром
N
λ
.
Поэтому
многомерная
плотность
распределения
вектора
1 2
( , , ..., )
r
Z Z Z
имеет
вид
1
1 2
1
1
( , , ..., , ) ( ) exp
r
r
N Z r
r i
i
i
f Z Z Z N e N N Z
− λ
=
=
λ = λ = λ − λ
∑
∏
.
Функция
правдоподобия
1
ln (ln ln ) ,
r
r r i
i
L f r N N t t Z
=
= = + λ − λ =
∑
.
Уравнение
правдоподобия
0
r
dL r
Nt
d
= − =
λ λ
.
Отсюда

Страницы