Надежность информационных систем. Громов Ю.Ю - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

находим
а
и
= 0,35536, а при
d
=
m
– 2 и
a
= γ = 0,05 находим
а
в
= 6,29579. Отсюда 0,00355 <
Q
< 0,063. Точность оценок при
пуассоновском приближении получается вполне удовлетворительной.
Приближение Большева–Смирнова. Если
Q
мало,
N
велико и
mn
< (
N
– 1) / 2, то при приближённых расчётах
доверительных границ вместо биномиального распределения в уравнениях Клоппера–Пирсона (8.2) и (8.4) можно
использовать распределение Пуассона (8.7) и (8.8) со значениями параметров
в
в
в
(2 )
2
N m Q
a
Q
−
=
−
;
н
н
н
(2 1)
2
N m Q
a
Q
− +
=
−
. (8.10)
Отсюда при
m
<
N
и
Q
< 1 получаем
а
в
≈
NQ
в
,
а
н
≈
NQ
н
, т.е. получаем выражения параметров при пуассоновском
приближении. Решая (8.10) относительно
Q
н
и
Q
в
, находим:
в
в
в
2 ( , )
2 ( , )
a m
Q
N m a m
′
γ
=
− + γ
;
н
н
н
2 (1 , 1 )
2 1 (1 , 1 )
a m
Q
N m a m
′′
− − γ
=
′′
− + + − − γ
.
Если же используются таблицы χ
2
-распределения, то
в
в
в
(2 2, )
2 0,5 (2 2, )
u m
Q
N m u m
′
+ γ
=
′
− + + γ
;
н
н
н
(2 , )
2 0,5 (2 , )
u m
Q
N m u m
′′
γ
=
′′
− + γ
. (8.11)
Пример 8.4. В условиях примера 8.3 найти доверительные границы с коэффициентом доверия 0,95, используя
приближение Большева–Смирнова.
Решение
. Из таблицы 2.2,
а
из [49] находим
н
u
(4; 0,95) = 0,484;
в
u
(6; 0,025) = 14,45. Подставляя эти значения в (8.11),
получаем 0,00234 <
Q
< 0,0705.
Нормальное приближение. При достаточно больших
NQ
при решении уравнений Клоппера–Пирсона можно
использовать формулу Муавра–Лапласа:
0
0,5 0,5
(1 ) Ф Ф
(1 ) (1 )
m
i i N i
N
i
m NQ NQ
C Q Q
NQ Q NQ Q
−
=
+ − − −
− ≈ −
− −
∑
;
2
/2
0
1
Ф( )
2
y
x e dy
∞
−
=
π
∫
, (8.12)
где Ф(
х
) – функция Лапласа. Поскольку формула (8.12) применяется при больших значениях
NQ
(
NQ
> 9), вторым
слагаемым можно пренебречь. Определяя квантиль нормального распределения
z
δ
по уровню γ
"
и используя симметрию этого
распределения, получаем уравнение:
1
в
в в
0,5
(1 )
m NQ
z z
NQ Q
′
γ δ
+ −
= = −
−
,
1
1 '
δ = − γ
,
1 1 1
1
2 2
в
2
(2 1)
2 1 (2 1) 2
2( )
m
m z z z m
N
Q
N z
δ δ δ
δ
+
+ + + + + −
=
+
, (8.13)
1 1 1
1
2 2
н
2
(2 1)
2 1 (2 1) 2
2( )
m
m z z z m
N
Q
N z
δ δ δ
δ
−
− + − + − −
=
+
. (8.14)
Достоинством этих формул является то, что они не требуют использования таблиц. Квантили
z
p
можно заготовить заранее
для применяемых на практике уровней значимости:
0,95
z
=
1,645;
0,9
z
=
1,29;
0,975
z
=
1 > 96.
Пример 8.5. При испытаниях 500 датчиков дискретной информации в системе централизованного контроля и
управления в течение 1000 ч были зарегистрированы отказы в 12 из них. Необходимо найти доверительные границы для
вероятности отказа с коэффициентом доверия δ = 0,9.

Страницы