Надежность информационных систем. Громов Ю.Ю - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

<
в
λ
) > δ;
Р
(
н
λ
< λ < ∞) > δ. Здесь уровень значимости
у
= 1 – δ выражает вероятность того, что параметр λ попадёт в
интервал (
в
λ
,
∞
) или (0,
н
λ
) соответственно. Рассмотрим теперь некоторые конкретные планы испытаний.
План [
N
,
В
,
Т
]. Достаточная статистика
m
распределена по закону Пуассона с параметром
а
=
N
λ
T
. Если зафиксировать
NT
и построить зависимости от
m
при различных λ, то получим семейство ступенчатых функций, которые после
сглаживания имеют вид как на рис. 8.5.
Параметр семейства
а
увеличивается в направлении, указанном стрелкой. Чтобы найти доверительные границы,
необходимо, как и при оценке вероятности отказа, найти такие функции семейства, которые проходили бы через точки 1 и 2
пересечения перпендикуляра из точки
m
с горизонтальными прямыми на уровне γ
'
и 1 – γ
"
. Составляя соотношения для
точек 1 и 2, получаем уравнения Клоппера–Пирсона:
в
в
0
( )
!
i
m
N
Т
i
N Т
e
i
− λ
=
λ
′
= γ
∑
;
н
н
( )
!
i
N
Т
i m
N Т
e
i
∞
− λ
=
λ
′′
= γ
∑
, (8.18)
Второе уравнение (8.18) преобразуется к виду
н
1
н
0
( )
1
!
i
m
N
Т
i
N Т
e
i
−
− λ
=
λ
′′
= − γ
∑
.
Для решения уравнений можно использовать таблицы распределения Пуассона или χ
2
-распределения. При
использовании таблиц распределения Пуассона последовательность действий следующая:
в в в
( , ) /
m a a NT
γ → → λ =
;
н н н
(1 , 1) /
m a a NT
′′
− γ − → → λ =
,
а при использовании таблиц χ
2
-распределения:
в в в
( , 2 2) / 2
m u u NT
′
γ + → → λ =
,
н н н
(1 , 2 ) / 2
m u u NT
′′
− γ → → λ =
.
Рис. 8.5. Определение доверительных границ параметра экспоненциального распределения с помощью принципа
Клоппера–Пирсона
При
m
= 0 нижняя граница
н
λ =
0, а верхнюю находят из уравнения (8.18):
в
λ =
–ln (1 – δ) / δ =
b
/ δ, (8.19)
где
b
= 2,3 при δ = 0,9,
b
= 3 при δ = 0,95 и
b
= 3,68 при δ = 0,975.
Из формулы (8.19) следует, что для подтверждения заданного уровня интенсивности отказов даже при безотказной
работе всех изделий необходима наработка, приблизительно втрое превышающая среднюю наработку
ср.н в
1
T
= λ
. Если
проанализировать справочные данные о надёжности логических элементов и типовых элементов радиоэлектронной
аппаратуры, то можно заметить, что многие из этих элементов имеют интенсивности отказов 10
–7
ч
–1
и меньше. Так,
резисторы, конденсаторы и трансформаторы имеют λ = 10
–8
… 10
–9
ч
–1
, соединения паяные и микросхемы – до 10
–10
… 10
–
11
ч
–1
, а сварные электрические соединения – до 10
–11
… 10
–12
ч
–1
. Из формулы (8.19) видно, насколько трудно
экспериментально определить эти значения. При
в
λ =
10
–7
ч
–1
необходимо в течение года испытывать 3500 элементов, при
в
λ =
10
–8
ч
–1
– 35 000 элементов, при
в
λ =
10
–11
ч
–1
– десять миллионов элементов в течение 3,5 лет, или один миллион – в
течение 35 лет. Если же столь высокие значения интенсивности отказов задаются для сложных изделий, то практически не
удаётся экспериментально подтвердить расчётные значения. Для серии из 1000 изделий практически предельной величиной
λ, о подтверждении которой может идти речь, является 10
–7
ч
–1
, поскольку и в этом случае даже при безотказной работе для
сбора сведений потребуется эксплуатация в течение 3,5 лет, что для многих систем близко к периоду морального старения.
Пример 8.6. Из испытаний контрольно-измерительной аппаратуры получена следующая статистика: за 1000 ч в 20
приборах зарегистрированы 22 отказа. Оценить интенсивность отказов с коэффициентом доверия 0,9, если известно, что
закон распределения между соседними отказами одного прибора экспоненциальный.
Решение
. Согласно (8.15), точечная оценка
X
= 22/(2⋅10
4
) == 1,1⋅10
–3
ч
–1
. Для вычисления доверительного интервала
воспользуемся табл. 2.2,
а
из [50]. Для
1
δ =
1 – γ
"
= 95% и
п
= 14 находим
н
u
=
29,787, а для γ
'
= 5% и
п
= 46 имеем
в
u
=
62,83.
Отсюда
в
λ =
29,787 / (4⋅10
4
) = = 0,745⋅10
–3
ч
–1
,
в
λ =
62,83/(4⋅10
4
) = 1,57⋅10
–3
ч
–1
.

Страницы