Надежность информационных систем. Громов Ю.Ю - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

План [
N
,
Б
,
Т
]. Поскольку именно этот план рассматривался в разделе 8.4 при вычислении доверительных интервалов
для вероятности отказа, можно воспользоваться готовыми результатами, учитывая соотношение
Q
(
T
) = 1 – exp (–λ
T
). (8.20)
Определяя
н
Q
и
в
Q
по формулам (8.2) и (8.4), из (8.20) находим:
н н
ln(1 )
Q T
λ = − −
;
в в
ln(1 )
Q T
λ = − −
. (8.21)
Из формул (8.2), (8.4) и (8.21) следует, что для вычисления доверительного интервала достаточно знать лишь
количество отказов за время
Т
, тогда как для вычисления точечной оценки максимального правдоподобия необходимо знать
также суммарную наработку за время испытаний, что существенно усложняет проведение испытаний.
Пример 8.7. Известно, что за первые 10 000 ч наблюдения за 650 генераторами постоянного тока (ГПТ) отказали 15
из них. Считая ГПТ невосстанавливаемыми изделиями, определить доверительные границы для средней наработки до
первого отказа с уровнем значимости 0,05.
Решение
. При таком количестве отказов можно использовать нормальное приближение для биномиального распределения.
Подставляя в (8.13) и (8.14)
m
= 15 и
δ
= 1,96, находим
н
Q
= 0,0135;
в
Q
= 0,0386 (для сравнения отметим, что при использовании
приближения Большева–Смирнова
н
Q
= 0,01295,
в
Q
= 0,0377). Отсюда
ср.н
Т
= 1 /
в
λ
= –
T
/ ln (1 –
Q
в
) == 10
4
/ ln (1 / 0,9614)
= 10
4
/ 0,0392 = 2,55⋅10
5
ч;
ср.в
Т
= 1 /
н
λ
= 10
4
/ 0,0135 == 7,4⋅10
5
ч.
План [
N
,
В
,
r
]. Уравнения Клоппера–Пирсона имеют вид
( , )
E
F a r
= γ
'
, 1–
в
( , )
E
F a r
= γ
"
,
r
a N t
= λ
;
( , )
E
F a r
=
1
0
1
!
i
r
a
i
a
e
i
−
−
=
−
∑
,
(8.22)
где
в
( , )
E
F a r
– распределение Эрланга с параметром формы
r
;
а
– варианта. Уравнения следует решать с помощью таблиц
распределения Эрланга [52, табл. VII], определяя квантиль
н
a
по значениям (γ
'
,
r
) и квантиль
в
a
– по значениям (1 – γ
"
,
r
).
Затем находят границы доверительного интервала:
н н
( , )
r
a r Nt
′
λ = γ
;
в в
(1 , )
r
a r Nt
′′
λ = − γ
. (8.23)
Удобнее использовать более распространённые таблицы распределения Пуассона П(
m
,
a
) [48], [50], [52], где
m
–
варианта,
а
– параметр распределения, если учесть, что
( , )
E
F a r
= 1 – П(
r
– 1,
а
). Для этого надо записать уравнения
Клоппера–Пирсона в виде
γ
′
−=−∏ 1),1(
н
ar
;
в
( 1, )
П
r a
′′
− = γ
;
r
a N t
= λ
.
Задавая вероятность 1 – γ
'
и варианту
r
– 1, находят сначала соответствующий параметр
н
a
, а затем по формуле (8.23) –
нижнюю границу
н
λ
. Аналогично находят и
в
λ
. Тогда
н н
(1 , 1)
r
a r Nt
′
λ = − γ − ;
в в
( , 1)
r
a r Nt
′′
λ = γ − . (8.24)
В частности, при
r
= 1 имеем
н
ln (1 )
r
Nt
′
λ = − − γ ;
в
ln
r
Nt
′′
λ = − γ .
При использовании таблиц χ
2
-распределения доверительные границы находят по формулам
н н
(1 , 2 ) 2
r
u r Nt
′′
λ = − γ ;
в в
( , 2 ) 2
u r Nt
′′
λ = γ ,
где
н
(1 , 2 )
u r
′′
− γ и
в
( , 2 )
u r
′′
γ – квантили χ
2
-распределения с
k
= 2
r
степенями свободы.
Пример 8.8. При испытаниях 50 экземпляров процессорной платы до первого отказа получена наработка
1
t
= 1300 ч.
Найти доверительный интервал для средней наработки на отказ платы с коэффициентом доверия 0,8. Если относительная
длина интервала
1
δ
превысит значение 1,6, то продолжить испытания 50 экземпляров до второго отказа. Если и тогда
1
δ
>
1,6, то продолжить испытания до выполнения указанного условия.
Решение
. Согласно условиям задачи, план испытаний относится к типу [
N
,
В
,
r
],
N
= 50,
r
= 1. Согласно (8.23),
6
н
1,62 10
−
λ = ⋅
ч
–1
, = 3,54⋅10
–5
ч
–1
. Доверительные границы для средней наработки на отказ
н
T
= 28 230 ч,
в
T
= 616 930 ч,
относительная длина интервала
1
δ
= 2(
в
T
–
н
T
) / (
в
T
+
н
T
) = 1,82. Продолжение испытаний до второго отказа приводит к
суммарной наработке
t
2
= 2400 ч. Отсюда
н
T
= 30 770 ч,
в
T
= 226 400 ч,
1
δ
= 1,52 < 1,6. Середина доверительного интервала

Страницы