Надежность информационных систем. Громов Ю.Ю - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

данной партии надёжными или нет, и на этом основании принять или забраковать всю партию, обеспечив риск поставщика
не более α, а риск заказчика не более β. Так как закон распределения наработки изделия
( )
Q t
неизвестен, то, как и в случае
определительных испытаний, выбираем план [
N
,
Б
,
t
], где длительность испытаний
T
совпадает со временем
t
работы
изделия в нормальной эксплуатации. Для проведения испытаний и принятия решения кроме
0
Q
и
1
Q
необходимо знать ещё
четыре числа: риски α и β, объём партии
N
и приёмочный норматив
с
. Если два из них задать, то два других можно
определить по уравнениям (8.27) и (8.28).
Если задаются
N
и
с
, а определить нужно риски α и β, то получаем прямую задачу планирования контроля. Если же
задаются
а
и
р
, а определяются
N
и
с
, то получаем обратную задачу планирования.
Найдём теперь явный вид уравнений (8.27) и (8.28). Поскольку число отказов изделий
m
за время испытаний
t
распределено по биномиальному закону, мы вместо (8.27) и (8.28) можем записать:
0 0 0 0 0
1 0
( | ) (1 ) 1 (1 )
N c
i i N i i i N i
N N
i c i
P m c Q Q C Q Q C Q Q
= + =
α = > = = − = − −
∑ ∑
;
(8.29)
1 1 1
0
( | ) (1 )
c
i i N i
N
i
P m c Q Q C Q Q
−
=
β = ≤ = = −
∑
. (8.30)
В частности, при
с
= 0 имеем:
0
1 (1 ( ))
N
Q t
α = − −
;
1
(1 ( ))
N
Q t
β = −
. (8.31)
При
с
> 0 уравнения (8.29) и (8.30) можно решать с помощью таблиц биномиального распределения. Если же
N
велико,
a
Q
мало, то можно воспользоваться пуассоновским приближением или приближением Большева–Смирнова для
биномиального распределения. При пуассоновском приближении уравнения (8.27) и (8.28) заменяются следующими:
0
0
0
1
!
i
с
a
i
a
e
i
−
=
α = −
∑
;
0 0
a NQ
=
. (8.32)
1
1
0
!
i
с
a
i
a
e
i
−
=
β =
∑
,
1 1
a NQ
=
. (8.33)
При использовании приближения Большева–Смирнова значения
0
a
и
1
a
вычисляются по формуле
(2 ) (2 )
i i i
a N c Q Q
= − −
,
i
= 0, 1. (8.34)
При малом
Q
, большом
N
и достаточно большом
NQ
справедлива формула Муавра–Лапласа, с помощью которой
уравнения (8.29) и (8.30) записываются в следующем виде:
0
0 0
0,5
1 Ф
(1 )
с NQ
NQ Q
+ −
α = −
−
;
1
1 1
0,5
1 Ф
(1 )
с NQ
NQ Q
+ −
β = −
−
.
где Ф(
х
) – функция Лапласа, определяемая по формуле (8.12).
Определяя квантили нормального распределения по уровням 1 – α и β и используя свойство
1
u u
β −β
= −
, получаем два
уравнения:
1 0 0 0
( 0,5 ) (1 )
u c NQ NQ Q
−α
= + − −
;
1 1 1 1
( 0,5 ) (1 )
u c NQ NQ Q
−β
= + − −
.
Пренебрегая здесь под корнем величиной
i
Q
по сравнению с единицей, имеем:
0 1 0
0,5
a u c a
−α
= + −
;
0 1 1
0,5
a u c a
−β
= + −
;
i i
a NQ
=
;
i
= 0, 1.
(8.35)
Складывая эти уравнения и обозначая η =
1
Q
/
0
Q
, находим:
0 1 1 0
( ) ( 1),
a u u a
−α −β
+ η = η −
откуда

Страницы