Системный анализ в информационных технологиях - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

)v,(v)v),v,(v,v,(maxArg)v,(
v
i
LiiiF
i
Li
V
Li
uuuHuR
i
ii
i
=
=
∈
.
Оптимальным решением центра в рассматриваемой иерархической дифференциальной игре будет
))(v...,),(v,(maxArg
10
*
⋅⋅=
∈
n
Uu
uHu
,
а ситуация )v...,,v,(
**
1
*
n
u , где
***
v)(v
ii
u = – равновесием по Штакельбергу.
Таким образом, решение по Штакельбергу и решение по Нэшу в многоуровневой дифференциаль-
ной иерархической игре с указанными функционалами выигрышей совпадают. Это обусловлено пред-
положением о единственности точек максимума функционалов выигрышей при всех значениях пара-
метров. В общем случае решение по Нэшу не совпадает с решением по Штакельбергу.
Для нахождения ситуаций равновесия по Нэшу и по Штакельбергу, отражающих оптимальное по-
ведение как центра, так и подсистем, требуется решить значительное количество задач линейного и не-
линейного параметрического программирования. Причем, чем выше игрок находится в иерархической
структуре, тем больший объем информации для принятия решения ему необходим, поскольку в силу
иерархической структуры принятия решений игрок, делающий первый ход, для нахождения своей оп-
тимальной стратегии должен вычислить сначала оптимальные стратегии всех прямо или опосредованно
подчиненных ему игроков.
3.5.3 Двухуровневые и ромбовидные иерархические структуры управления
Рассмотрим двухуровневую иерархическую игру, моделирующую процесс принятия решений в сис-
теме управления, для которой известны:
1) центр A
0
и множество I = {1, 2, ..., п} игроков нижнего уровня. Центр обладает правом первого
хода, т.е. выбирает первым свое управление и сообщает его игрокам нижнего уровня;
2) множество стратегий центра U и игроков нижнего уровня
V
1
× V
2
× ... × V
n
;
3) на множестве U × V
1
× V
2
× ... × V
n
определены функции выигрышей
)v...,,v,v,(
2100 n
uHH
=
, (3.53)
niuHH
nii
...,,2,1),v...,,v,v,(
21
=
=
. (3.54)
Все игроки стремятся максимизировать свои выигрыши. Будем предполагать, что для любого u ∈ U
множество оптимальных реакций
R(u) игроков нижнего уровня не пусто.
Рассмотрим частный случай описанной игры – двухуровневую древовидную игру, которую иногда
называют «веерной», характеризующуюся тем, что выигрыши игроков нижнего уровня описываются
функциями
)v,(
iii
uHH
=
. (3.55)
Обозначим эту игру через Г
1
. Из вида функций выигрышей (3.55) игроков нижнего уровня можно
сделать вывод, что выбор управления v
i
любым игроком i зависит только от управления центра. Поэто-
му множество оптимальных реакций игроков нижнего уровня можно представить в виде прямой суммы
множеств оптимальных реакций каждого из игроков.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 6. Решение двухуровневой игры Г
1
эквивалентно для центра решению двухуровневой
игры Г
2
двух лиц, в которой одним из игроков является центр, а вторым – игрок с функцией выигрыша
∑
∈
=
Ii
ii
uHuH )v,()v,( , (3.56)

Страницы