Системный анализ в информационных технологиях - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

где )v...,,v,v(v
21 n
= .
Доказательство. В игре Г
2
множество стратегий центра A
0
есть U, а второго игрока – V = V
1
× V
2
×
… × V
n
. Для любого значения управления u ∈ U справедливо равенство
∑
∈
∈∈
=
Ii
ii
VV
uHuH
ii
)v,(max)v,(max
vv
и, следовательно, множество оптимальных реакций игрока A
1
R
1
(u) в игре Г
2
представимо в виде
)(...)()()(
21
1
uRuRuRuR
n
×××= ,
где )v,(maxArg)(
v
ii
V
i
uHuR
ii
∈
= .
Но поскольку множество оптимальных реакций игроков нижнего уровня в игре Г
1
есть также
)(...)()()(
21
uRuRuRuR
n
×
×
×
=
,
то
R(u) = R
1
(u). Следовательно, множества оптимальных реакций игроков нижнего уровня в играх Г
1
и
Г
2
совпадают. Учитывая, что функции выигрыша центра в обеих играх одинаковы и R(u) = R
1
(u), полу-
чим, что множества оптимальных решений центра в них также совпадают, а, следовательно, решения
игр Г
1
и Г
2
эквивалентны.
Замечание. Теорема остается справедливой и для функций
∑
∈
λ=
Ii
iii
uHH )v,( , где параметр λ
i
> 0.
Рассмотрим пример из области математической экономики [12], иллюстрирующий проблему уста-
новления рациональных цен на товары и ресурсы. В качестве модели используется веерная иерархиче-
ская
система.
Пусть известен общий объем товаров Q, производимых промышленностью за фиксированный про-
межуток времени (Q – вектор с положительными компонентами). Все потребители товаров разбиты на n
однородных групп, каждая из которых имеет свою функцию полезности (функцию выигрыша) H
i
(v
i
),
заданную на пространстве товаров, где вектор v
i
характеризует объем товаров, закупаемых i-й группой.
Суммарный объем товаров, закупаемых всеми группами, ограничен векторной величиной Q, т.е.
∑
=
∈≤
n
i
m
i
EQQ
1
,v
. (3.57)
Управление центра
u = (p, s) заключается в выборе вектора цен на товары p = (p
1
, p
2
, …, p
n
) и уста-
новлении уровня дохода (заработной платы) каждой группы потребителей, т.е. общего количества денег
s
i
, получаемого всеми потребителями i-й группы за данный промежуток времени. Множество допусти-
мых управлений i-й группы опишем следующим образом:
nispspV
i
iii
ii
...,,2,1},v,,0v|v{),( =>≤<≥= .
где <p, v
i
> – скалярное произведение векторов p и v
i
.
Оптимальные стратегии (управления) i-й группы образуют множество ее оптимальных реакций
)v(maxArg),(
),(v
i
i
spV
ii
HspR
ii
i
∈
= .
При этом для всех ),(v
ii
i
spR∈ должно выполняться условие (3.57). Для этого зададим множество
допустимых управлений центра следующим образом:

Страницы