Системный анализ в информационных технологиях - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В этом параграфе мы рассмотрим метод отыскания Парето оптимальных решении в многокритериаль-
ной задаче сближения с несколькими целевыми точками. Приложения этой задачи разнообразны –
от чисто технических до экономических.
Пусть состояние некоторой системы описывается в начальный момент времени t
0
вектором
m
Ex ∈
0
.
Динамика развития системы на отрезке времени [t
0
, T] описывается векторным дифференциальным
уравнением
im
EUuExuxfx ⊂
∈
∈
=
,),,(
&
. (3.32)
Каждому начальному условию x(t
0
) = x
0
и измеримому программному управлению u(t) при t ∈ [t
0
, Т]
соответствует (при выполнении некоторых требований к правой части уравнения (3.32)) единственная
траектория, определенная на отрезке [t
0
, Т].
Пусть
)(
0
0
xC
tT −
– множество достижимости системы (3.32), т.е. множество состояний x(Т), в кото-
рых может оказаться система в момент времени Т при всевозможных допустимых управлениях. Пред-
положим, что это множество выпукло и компактно и имеет гладкую границу.
Будем считать для удобства изложения, что управлением в модели распоряжается некоторый субъ-
ект управления, который называем центром A
0
, а конечное состояние системы x(Т) оценивается не-
сколькими «экспертами» B
1
, B
2
, …, B
n
. Каждый из экспертов в соответствии со своим пониманием
стоящих перед системой целей развития определяет целевую точку M
i
. Целевые точки M, могут нахо-
диться достаточно близко друг от друга, однако предположение об их совпадении было бы слишком
сильной идеализацией.
В результате полезность каждой точки x(T) ∈
)(
0
0
xC
tT −
может быть оценена центром с точки зрения
ее близости к целевым точкам М
1
, ..., М
n
. Поэтому получаем связанный с каждой точкой х(Т) вектор
оценок, который называется также вектором экспертных оценок:
))}(({)}),(({ TxHMTx
ii
=
ρ
−
. (3.33)
где ρ – евклидово расстояние между точками х(Т), M
i
.
Математическая задача сводится к нахождению оптимальных траекторий развития в смысле век-
торного критерия Н(х). Напомним, что управление )(tu называется оптимальным по Парето, если не
существует такого управления u(t), что
nituTxHtuTxH
ii
...,,2,1)),(),(())(),((
=
≤
,
и хотя бы для одного i
0
))(),(())(),((
00
tuTxHtuTxH
ii
<
,
где H(x(T), u(t)) – вектор оценок при использовании управления u(t), a x(t) – соответствующая траекто-
рия.
Оптимальное по Парето управление мы будем обозначать через u
P
, а соответствующую траекторию
– через x
P
(t).
Определим структуру множества Парето в рассматриваемой задаче.
В множестве достижимости )(
0
0
xC
tT −
у каждого эксперта B
i
имеется своя наилучшая точка х(Т), та-
кая, что
)(
0
0
),(min)),((
xC
ii
tT
MMTx
−
∈ξ
ξ
ρ
=
ρ .

Страницы