Системный анализ в информационных технологиях - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим множества
)
ˆ
,
ˆ
(conv
ˆ
)(
1
0
0
MMM
xC
tT −
π= , MM
xC
tT
ˆ
conv
ˆ
)(
2
0
0
−
π= .
Очевидно, что
12
ˆˆ
MM ⊂
, согласно утверждению 3 для любых
1
0
ˆ
\)(
0
MxCx
tT −
∈ существует
My
xC
tT
ˆ
)(
~
0
0
−
π∈ , удовлетворяющий неравенству (3.35).
Пусть теперь MMx
xC
tT
ˆ
\
ˆ
)(
2
0
0
−
π∈ , а
x
M
ˆ
π
– ее образ на
M
ˆ
. Поскольку множество )(
0
0
xC
tT −
по опреде-
лению выпукло и
)(
ˆ
0
)(
0
0
0
xCM
tT
xC
tT
−
⊂π
−
(ввиду пустоты множества )(
ˆ
0
0
xCM
tT −
∩ , где )(
0
0
xC
tT −
– граница
множества )(
0
0
xC
tT −
), то существует точка
λ
ω∩π∈
−
Mx
xC
tT
ˆ
)(
1
0
0
, xx
M
ˆ
)1( π
λ
−
+
λ
=
ω
λ
, ]1,0[∈λ . Эта точка яв-
ляется искомой, ибо она удовлетворяет неравенству (3.35).
Итак, только точки множества M
xC
tT
ˆ
)(
0
0
−
π обладают свойством (3.35). Следовательно,
}
ˆ
|)({)(
)(
0
0
0
MyyHxP
xC
tT −
π∈= .
Таким образом, в этом случае Парето-оптимальные точки )(tx
P
являются проекциями выпуклой
оболочки целевых точек.
2 ).(
ˆ
0
0
xCM
tT −
⊂ Все целевые точки достижимы (рис. 3.7).
Из утверждения 3 следует, что в множестве )(
0
0
xC
tT −
кроме точек My
ˆ
∈ нет точек, обладающих
свойством
)()( xHyH
ii
≥ , i = 1, 2, …, n, Mx
ˆ
∈ ,
ибо для любого Mx
ˆ
∈ существует
)(
ˆ
ˆ
xM
M
π∈ξ∈ξ
, такое, что )()( xHH
ii
≥
ξ
, i = 1, 2, …, n.
Рис. 3.7 Случай 2
Кроме того, для любого
Mx
ˆ
∈ и всех My
ˆ
∈ неравенство )()( xHyH
ii
> выполняется хотя бы для од-
ного i.
Мы установили, что Парето-оптимальными могут быть только векторы выигрышей на множестве
М. Покажем, что все векторы этого множества являются таковыми.
Пусть x,
My
ˆ
∈ , y
x
≠ . Отрезок с концами М
1
и М
2
. Имеем
),(),(),(),(),(
212121
MxxMMyyMMM
ρ
+
ρ
=
ρ
+
ρ
=
ρ
.
Но так как y
x
≠ , то
),(),(
11
xMyM
ρ
<
ρ
либо ),(),(
22
xMyM
ρ
<
ρ
.
Поэтому )()(
0
xPyH ∈ .
С
T
–
0
(x
0
)
М
1
М
2
М
3
М
4
M = P(x
0
)
^

Страницы