Системный анализ в информационных технологиях - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∑
∈
⊂−=
Si
SSwiws }3,2,1{),(})({)(v ,
который может быть распределен между предприятиями из S в виде «премии». Поскольку u(S) пред-
ставляет собой максимальный гарантированный выигрыш, который получает коалиция S, то ее можно
назвать характеристической функцией.
При построении характеристической функции наиболее часто пользуются следующим ее определе-
нием.
Определение. Характеристической функцией игры п лиц называется вещественная функция и,
определенная на подмножествах множества I и ставящая в соответствие любому S ⊂ I значение (для S)
антагонистической игры двух лиц, которую разыграли бы S и I \ S, если бы эти две коалиции действи-
тельно возникли; при этом под функцией выигрыша коалиции S понимается сумма выигрышей участ-
ников коалиции
∑
∈
=
Si
i
S
xHK )( ,
а функция выигрыша коалиции I \ S полагается равной – K
S
.
Пустую коалицию, как и всякое пустое множество, будем обозначать символом ∅. Из приведенного
определения следует v(∅) = 0. Если S и R – непересекающиеся коалиции, то, очевидно, объединив свои
усилия, они могут получить выигрыш не меньший, чем если бы они действовали отдельно. Следова-
тельно, v(S) + v(R) <= (S ∪ R), если
S ∩ R ≠ ∅. Такое свойство характеристической функции называется супераддитивностью. Докажем, что
оно имеет место.
Обозначим через x
s
вектор стратегий игроков, входящих в коалицию S, который определим в каче-
стве стратегии коалиции S. Представим v(S) в виде
v(S) = sup inf
∑
∈Si
i
xH ),(
x
S
∈ X
S
, x
I \ S
∈ X
I \ S
,
где
∏
∈
=
Si
is
XX – множество стратегий коалиции S; X
I \ S
=
∏
∈ SIi
i
X
\
– множество стратегий коалиции I \ S.
Имеем
()
),(
inf
sup
v
)(\
)(\)(\
RSIRSi
xxHRS
RSI
X
RSI
x
RS
X
RS
x
UU
UU
UU
U
∈
∈
= .
Если супремум в правой части взять по множеству X
s
, а затем по X
R
, то он разве лишь уменьшится,
т.е.
∑
∈
∈
∈∈
≥
RSi
RSIRSi
RSIRSI
xxxHRS
Xx
R
X
R
x
S
X
S
x
U
U
UU
U ),,(infsupsup)(v
)(\
)(\)(\
,
и тем более
()
.),,(inf
),,(inf
),,(infv
)(\
)(\)(\
)(\
)(\)(\
)(\
)(\)(\
∑
∑
∑
∈
∈
∈
∈
∈
∈
+
+≥
≥≥
Ri
RSIRSi
RSIRSI
Si
RSIRSi
RSIRSI
RSi
RSIRSi
RSIRSI
xxxH
xxxH
xxxHRS
Xx
Xx
Xx
U
UU
U
UU
U
U
UU
U
Возьмем инфимум первого слагаемого по x
R
∈ X
R
, а ипфимум второго по x
S
∈ X
S
. Тогда

Страницы