Системный анализ в информационных технологиях - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
.),,(infinf
),,(infinfv
)(\
)(\)(\
)(\
)(\)(\
∑
∑
∈
∈
∈∈
∈∈
+
+≥
Ri
RSIRSi
RSIRSISS
Si
RSIRSi
RSIRSIRR
xxxH
xxxHRS
XxXx
XxXx
U
UU
U
UU
U
Переход в первом слагаемом от инфимума по множествам Х
R
и X
I\(R∪S)
инфимуму по множеству Х
I\S
всевозможных пар (X
R
, X
I\(R∪S
) и во втором слагаемом от инфимума по множествам Х
S
и X
I\(R∪S)
к инфи-
муму по множеству Х
R\S
всевозможных пар (X
S
, X
I\(S∪R
) может лишь уменьшить правую часть. Поэтому
∑
∑
∈∈
∈∈
+≥
Ri
RIRi
RIRI
Si
SISi
SISI
xxHxxHRS
XxXx
),(inf),(inf)(v
\
\\
\
\\
U
для всех x
S
∈ X
S
и x
R
∈ X
R
. Отсюда
∑
∑
∈∈
∈
∈
∈
∈
+≥
Ri
RIRi
RIRI
RR
Si
SISi
SISI
xxHxxHRS
Xx
Xx
Xx
S
X
S
x
),(infsup),(infsup)(v
\
\\
\
\\
U
,
что и требовалось доказать.
Из свойства супераддитивности характеристической функции следует, что игроки, объединяясь в
коалицию I, получают наибольший выигрыш v(I). Поскольку коалиции I никто не противостоит, то ее
гарантированный выигрыш v(I) совпадает с максимальным
∑
∈
∈
=
Ii
i
Xx
xHI )(sup)(v .
В такой ситуации проблема конфликтного выбора стратегии отсутствует. Основной задачей игро-
ков становится достижение справедливого дележа общего выигрыша v(I). Эти вопросы являются
предметом исследования теории кооперативных игр. Для того чтобы определить кооперативную игру,
необходимо задать множество игроков I и характеристическую функцию.
Игра T
v
= <I, v>, называется кооперативной игрой в форме характеристической функции.
Определим понятие дележа в кооперативной игре.
Определение. Дележом для игры п лиц с характеристической функцией v называется вектор α =
(α
1
, α
2
, ..., α
n
), удовлетворяющий условиям:
1) )(v
1
I
n
i
i
=α
∑
=
;
2) α
i
>= v({i}) для всех i ∈ I.
Первое условие означает, что весь полученный выигрыш распределяется между игроками. Это ус-
ловие называется условием коллективной рациональности. Второе условие означает, что игрок в ре-
зультате объединения должен получить выигрыш не меньший, чем он может себе уверенно обеспечить
самостоятельно, и называется условием индивидуальной рациональности.
Пусть α' и α" – дележи и S – некоторая коалиция.
Определение. Дележ α' доминирует дележ α'' по коалиции S
(α' > α"), если:
а)
ii
α
′′
>α
′
для всех i ∈ S;
б)
∑
∈
≤α
′
Si
i
S)(v .
Дележ α' доминирует α'' (α' ⊂ α"), если существует такая коалиция S ⊂ I, что α' ⊂ α".
Условие а) в определении доминирования означает, что все члены коалиции S предпочитают α'; ус-
ловие б) – что они в состоянии реализовать дележ α'. Отметим, что доминирование по коалиции, со-
стоящей из единственного игрока, а также по множеству всех игроков I невозможно. Как легко видеть,
в этих случаях нарушаются первое и второе свойства дележа.
Дележ, который не доминируется никаким другим дележом, можно считать в известном смысле

Страницы