Системы автоматического управления с запаздыванием. Громов Ю.Ю - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

где
() ()
2
1
2
∑
=
ω=ω
n
k
k
iuiU – эрмитова векторная норма
(
)
ω
iU ; M
1
– постоянная величина.
В качестве критерия близости решения выберем интегральную оценку
()
,
0
2
*
dttI
NN
∫
∞
ε=∆ которую по аналогии запи-
шем, используя теорему Парсеваля [1]:
() () ()
[]
() ()
[]
()
() () ()
.
22
1
2
1
1
2
2
э
2
*
***
π
δ
≤ωωω−ω
π
≤
≤ωωω−ωω−−ωω−
π
=∆
∫
∫
∞
∞−
∞
∞
M
diUiWiW
diUiWiWiWiWiUI
NN
NN
TT
NN
T
NN
Приведенная оценка следует из ряда простейших преобразований и соотношений:
(
)
(
)
() () () ()
()() ()() () ()
,
;
;
22
ω+ω≤ωω−+ω−ω
ωω=ωω
ω−=ω
iZiZiZiZiZiZ
iZiZiZiZ
iZiZ
kikiki
grgk
kk
где
()
ωiZ
k
и
()
ω−iZ
k
– комплексно-сопряженные величины.
С ростом
N и N
*
интервал стремится к нулю. При практических расчетах целесообразно пользоваться не абсолютной оценкой
близости
∆
Ι
NN
*
, а относительной
δΙ
NN
*
, равной отношению ∆
Ι
NN
*
к величине
()
dttx
NN
∫
∞
=Ι
0
2
0
*
– интегральной оценке качества
процесса
x
0
(t) в приближенной системе:
*
*
*
NN
NN
NN
I
I
I
∆
=δ
.
Сопоставим теперь решение исходной и приближенной систем при ненулевых начальных условиях.
Для выражения (2.5.1) получим:
() () () ( )
()
.
0
1
0
1
0
00
dtetB
dtetAxsUeBsXeAsE
st
i
r
i
ui
l
i
st
ixi
r
i
s
i
l
i
s
i
i
i
ii
−
=
θ
=
−
τ
=
θ−
=
τ−
θ−ϕ+
+τ−ϕ++=
−
∑
∫
∑
∫
∑∑
Решение данной приближенной системы приводится к виду:
() ()
() () ()
.00101
11
1
*
*
1
1
*
1
1
1
0
*
0
0
0
*
*
*
∑∑∑∑
∑∑
=
−+−
==
−+−
=
θ
θ
−
=
τ
τ
−
=
+
θ
+
θ
+
τ
+
τ
+
+
+
θ
=
+
τ
−
r
i
k
r
kN
N
k
r
l
i
ki
l
kN
N
k
l
N
r
r
i
i
N
l
l
i
i
xz
N
s
N
zA
N
s
N
sUs
N
BsXs
N
AsE
i
i
i
i
r
i
l
i
При выводе данного соотношения использовались выражения:
() ()
()
() ()
()
()
,1
;0
;0
1
1
1
*
*
0
1
1
0
*
*
*
−
τ−
+−
θ
−
=
−
θ
−+
τ
−
=
−
τ
+τ≈
θ
≈θ−ϕ
τ
≈τ−ϕ
τ
∑
∫
∑
∫
se
ez
N
dtt
ez
N
dtet
s
kN
N
N
k
i
r
st
iu
kN
N
N
k
i
l
st
ix
i
i
i
i
l
i
i
откуда следует
()
.1
i
is
se
−
τ−
+τ≈ Отметим, что аппроксимацию е
–is
можно выполнить, используя разложение
s
e
τ−
в непре-
рывную дробь и переходя от нее к дробно-рациональному выражению, что, с одной стороны, усложняет получение форму-
лы. А с другой – позволяет повысить точность приближенного решения при меньших значениях величин
N и N
*
.
Важным является вопрос о корнях характеристических определителей исходной и приближенной систем, так как ис-
пользование приближенной системы может привести к получению неустойчивого решения. Поэтому необходимо следить,
чтобы среди корней характеристического определителя приближенной системы отсутствовали корни с положительной действи-
тельной частью. Иначе необходимо изменить
N и N
*
.
В выражениях (2.5.2), модификация N и N
*
может выполняться как путем
(2.5.2)

Страницы