Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

...),3,2,1(0)...,,,(
121
1
=
≤
ℵ
suuu
ms
; (37)
тогда задача сводится на каждом шаге интегрирования к проблеме нелинейного программирования;
в) множество
m
U является ограниченной областью, не имеющей границ (например, замкнутой дву-
мерной поверхностью типа сферы или эллипсоида в трехмерном пространстве). Для всякой непрерыв-
ной функции H(u), имеющей непрерывные частные производные, заданной на замкнутой поверхности и
выраженной через параметрические координаты этой поверхности, точка максимума H по этим пара-
метрическим координатам принадлежит к числу решений (35), где роль
j
u играют параметрические ко-
ординаты поверхности.
Пример. Пусть ),,(
321
uuuH задана на сфере. Тогда замена ϕ
θ
=
cossin
1
ru ,
ϕ
θ= sinsin
2
ru ,
θ
=
cos
3
ru
приводит к
),,(
~
),,(
321
rHuuuH ϕθ=
– периодической функции с периодом
π
2 по θ и ϕ и в точке миниму-
ма
H
H
=
~
имеют место равенства
0
~
~
=
∂ϕ
∂
=
∂θ
∂ HH
.
4 Условия (35) определяют лишь внутреннюю стационарную точку функции H. Если u
*
= u удов-
летворяет системе (35) и доставляет минимум функции H(u), то должны быть выполнены необходимые
условия второго порядка: матрица частных производных второго порядка функции H(u)
),1,(
2
mji
uu
H
H
ji
=
∂∂
∂
=
uu
(38)
должна быть неотрицательно определенной в точке u
*
минимума функции H(u).
Положительная определенность матрицы Н
uu
при выполнении условий (35) в точке u
*
является дос-
таточным условием для относительного (но не абсолютного!) минимума H(u) в этой точке. Условие (38)
неотрицательной определенности матрицы Н
uu
представляет собой условия Лежандра-Клебша класси-
ческого вариационного исчисления
[25 – 27].
Проверка положительной определенности матрицы Н
uu
может проводиться по критерию Сильвест-
ра: для положительной определенности матрицы Н
uu
необходимо и достаточно, чтобы ее угловые ми-
норы были положительными. В частности, для положительно определенной матрицы Н
uu
выполняется
условие
0det
2
>
∂∂
∂
u*
ji
uu
H
, (39)
являющееся аналогом условия Гильберта неособенности (невырожденности) вариационной задачи (см.
п. 9.4).
5 Приведенная формулировка принципа максимума остается справедливой и для случая, когда об-
ласть
m
U зависит явным образом от времени t:

Страницы