Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Если кривая С: {x = x(t), a} реализует минимум в задаче Больца, то всегда найдется такая система
множителей µ
0
, µ
k
),1( ρ=k , ),1()(λ mjt
j
= , что для этой кривой С удовлетворяется правило множителей, а
для всякого ее элемента ),,,,( λµxx
&
t выполняется неравенство
0ξξ),,,(
11
≥
∑∑
==
n
i
n
k
kixx
tF
ki
λxx
&
&&
(136)
при любых )0...,,0,0()...,,,(
21
≠ξξξ=
n
ξ , удовлетворяющих уравнениям
),1(0),,(
1
mjtF
i
n
i
xj
j
==
∑
=
ξxx
&
&
, (137)
где
ki
xx
i
j
jx
xx
F
F
x
F
F
kii
&&&
&&
∂∂
∂
=
∂
∂
=
2
; .
В рассматриваемой задаче важную роль играет матрица
=
α
γ
0)(
0
T
x
xxx
F
FF
F
FF
k
iki
x
xxx
&
&&&
&
&&&
(138)
),1,(;
),...,,(
),...,,(
),,1,(
2
21
21
m
xx
F
F
xxx
FFF
Fnki
kin
m
=γα
∂∂
∂
=
∂
∂
==
&&&&&
&&&
xxx
.
Определитель этой матрицы называется определителем Гильберта. Вариационные задачи с отлич-
ным от нуля определителем Гильберта называется регулярными (невырожденными).
9.5 Четвертое необходимое условие в задаче Больца
(условие Якоби–Майера–Кнезера)
Условие Якоби–Майера–Кнезера носит нелокальный (интегральный) характер и характеризует экс-
тремальность всей кривой в целом на основе рассмотрения поведения экстремалей, лежащих в малой
окрестности от данной экстремали.
Условие Якоби–Майера–Кнезера. Чтобы экстремаль C: {x(t)} доставляла на отрезке ],[
10
tt мини-
мум функционалу в задаче Больца, необходимо, чтобы отрезок ],[
10
tt не содержал точек, сопряженных с
0
t .
Сопряженная точка. Считается, что экстремаль C: {x(t)} имеет на интервале ),(
10
tt точку t
~
,
10
~
ttt << , сопряженную с
0
t , если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же
начальной точки ))(,(
00
tt x и бесконечно близких к данной экстремали x(t), такая, что каждая из этих экс-
тремалей пересекает данную экстремаль x(t) и последовательность точек пересечения имеют точку
t
~
своим пределом. Сопряженная точка ))
~
(,
~
( tt x является точкой касания экстремали x(t) с огибающей
семейства экстремалей, в которое данная экстремаль x(t) включена (заметим, что огибающая может вы-
рождаться в точку). Это показывает, что в сопряженной точке ))
~
(,
~
( tt x расстояние между данной экс-

Страницы