ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
строкой) функции V(t,
x) по x:
)()2(
2
1
),,,( fuxuuuxxxulxlux
x
T
3
T
2x
CBAVPNQVtH
TTT
+++++++= .
Дифференциальное уравнение Гамильтона–Беллмана (45) в данном случае имеет вид
0
)(
)2(
2
1
min =
+++
+++++
+
∂
∂
fux
uuuxxxulxl
x
T
3
T
2
u
CBAV
PNQ
t
V
TTT
, (IV)
где функция V(t, x) удовлетворяет граничному условию (55"):
xxxlx
T
1
11
2
1
),( RtV
T
+= . (V)
Поскольку, по предположению, P(t) – положительно определенная матрица, то минимум ),,,( ux
x
VtH достигается в
стационарной точке, где
0=
∂
∂
u
H
.
][),,,(minarg
3
1* TTT
VBNPVtH
xx
u
xluxu ++−==
−
. (VI)
Подставляя теперь полученное выражение для u
*
в (VI), находим окончательный вид основного дифференциального
уравнения динамического программирования (в данном случае это будет дифференциальное уравнение Гамильтона–Якоби,
так как
u
*
найдено из условия стационарности H):
)VII(.0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
3
1
33
1
32
11
3
1
=−+
+−−−++
+−−−+
∂
∂
−
−−−
−−−
xxxx
lxlllxlf
xl
xx
xxxxx
TTT
TTTTTT
TTT
NNPQ
VBPNPPCV
VBBPVNBPVBPVAxV
t
V
Доказано, что в линейных системах с квадратичным критерием качества при сделанных предположениях относительно
матриц Q(t), P(t), N(t),
1
R решение уравнения (VII) с краевым условием (V) существует и его можно искать в виде
)()()(
2
1
),( trttRtV ++= xqxxx
TT
, (VIII)
где R(t) – симметричная матрица размерности n × n; q(t) – n-мерный вектор; r(t) – скаляр.
Частные производные функции V(t,
x), записанной в форме (VIII), имеют вид
)()()(
2
1),(
trttR
t
tV
TT
&
&
&
++=
∂
∂
xqxx
x
; (IX)
TT
T
T
R
tV
ttR
tV
tV qx
x
x
qx
x
x
x
x
+=
∂
∂
+=
∂
∂
=
),(
);()(
),(
),(
. (X)
Подставляя выражения (IX) и (X) в уравнение (VII) и учитывая, что:
1) при одновременном умножении произвольной матрицы М слева и справа на вектор
x имеет место соотношение
xxxx )(
2
1
TTT
MMM +=
(т.е. происходит выделение симметричной части
)(
2
1
T
MM +
матрицы М);
2) скалярное произведение обладает свойством транспонируемости
ybby
TT
= , получим
)XI(.0
2
1
2
1
])(
)([]
)()([
2
1
3
1
3
1
3
1
2
1
3
11
3
11
111
=−
−+−−+++−
−−−−++−
−−+−+−+
−
−−−
−−−−
−−−
ll
fqqlqqxfll
qlqqx
x
P
CBPBBPrRCNP
RBBPRBPNBPARBRBP
NNPQRNBPANBPARR
T
TTTTTTTTT
TTTTTTTT
TTTTT
&
&
&
Поскольку условие (XI) должно выполняться тождественно для любых значений x и поскольку при
1
tt
=
для любых
значений
x должно выполняться тождественно следующее соотношение [см. (V) и (VIII)]
xRtrttR
TTTT
11111
2
1
)()()(
2
1
lxxxqxx +=++
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
