Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами. Громов Ю.Ю - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

то для определения матрицы R(t), вектора q(t) и скаляра r(t) получаем следующие уравнения и граничные условия:
1)
)XII(;0)()(
)()(
11
111
=+++−++=−
−+−−+−+
−−
−−−
QRBNPNRBRARARNNP
QRBRBPRNBPANBPARR
TTTT
TTTT
&
&
.)(
11
RtR
=
(XII')
2)
)XIII(;0)(
)(
2
1
3
11
3
1
=++−
−−−−+
−
−−−
RCNP
RBBPRBPNBPA
TTTT
TTTTTTT
fll
qlqq
&
TT
t
11
)( lq =
. (XIII')
3)
0
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
=−+−−
−−−
llfqqlqq PCBPBBPr
TTTTTT
&
; (XIV)
0)(
1
=
tr . (XIV')
Полученные уравнения следует интегрировать в обратном времени от
1
tt
=
к
0
tt
=
.
Оптимальный закон управления с обратной связью имеет вид
)]()()())()()()[(),(
3
1*
tttBtNtRtBtPt
TTT
lqxxu +++−=
−
. (XV)
Решения некоторых других задач оптимального управления для линейных систем с квадратичным критерием качества
приведены в табл. 3. В пп. 1 – 7 (строках 1 – 7) этой таблицы приведены постановка и решения задачи синтеза оптимального
закона управления при свободных граничных условиях на правом конце траектории, а в п. 8 – постановка и решение задачи
при заданных граничных условиях на правом конце. В пп. 1 – 6, 8 рассматриваются однородные линейные системы, в п. 7 –
неоднородная линейная система. В п. 1 дано решение задачи синтеза для нестационарной линейной системы и нестационар-
ного квадратичного критерия качества при фиксированном конечном интервале времени процесса управления, в п. 2 – для
стационарной (независящей явно от t) системы и стационарного критерия качества при фиксированном конечном интервале
времени процесса управления, в п. 3 – для стационарной системы и стационарного критерия качества на неограниченном
интервале времени (
[]
∞,0 ), в п. 4 – для нестационарной системы и нестационарного квадратичного критерия более общего
вида, чем в пп. 1 – 3 (критерий содержит перекрестные члены типа
Nux
T
). В п. 5 приведено решение задачи, которая в оп-
ределенном смысле эквивалентна задаче п. 4 (см. 5-й столбец таблицы), в п. 6 дано решение для оптимизации отклонения
системы от заданного желаемого поведения, в п. 7 рассмотрен случай синтеза оптимального закона управления для неодно-
родной линейной системы, в п. 8 – синтез оптимального закона управления при заданных граничных условиях на правом
конце и квадратичном критерии более общего вида. Некоторые из приведенных в табл. 3 решений (пп. 1 – 4, 6, 7) являются
частными случаями рассмотренной выше задачи.
Контрольные вопросы
1. Принцип оптимальности динамического программирования.
2. Ослабленное необходимое условие.
3 Оптимизация линейных систем с квадратичным критерием качества при отсутствии ограничений на значения
управляющих функций
№
строки
Уравнение движения
системы
Начальные и
конечные
условия
Критерий качества J[u]
Оптимальный закон управле-
ния
(в смысле минимума J[u])
u
*
= v
*
(x, t)
Оптимальное
значение крите-
рия качества
1 2 3 4 5 6
1
uxx )()( tBtA +=
&
,
T
n
xx )...,,(
1
=x ,
T
m
uu )...,,(
1
=u ,
A(t) – матрица раз-
мерности n × n, B(t)
– матрица размер-
ности n × m
0
t – задано,
00
)( xx =t –
задано,
10
ttt ≤
≤
1
t – задано,
11
)( xx =t –
свободно
dttPtQ
RJ
t
t
TT
T
∫
++
+=
1
0
])()([
2
1
2
1
][
111
uuxx
xxu
)(,
1
tQR – положительно
полуопределенные сим-
метричные матрицы
размерности n × n;
P(t) – положительно
определенная симмет-
xu )()()(
1*
tRtBtP
T−
−= ,
где R(t) – решение матрич-
ного уравнения Риккати:
11
1
)(
),()()()()(
)()()(
)()()(
RtR
tRtBtPtBtR
tQtRtA
tAtRtR
T
=
+
+−−
−−=
−
&
(интегрирование от
1
t до
0
t ) или
)()(
)(
2
1
),(
00
0
00
min
*
ttR
t
tV
JJ
T
x
x
x
×
×=
==
==

Страницы