Тригонометрия. Громов Ю.Ю - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 1.12.3
2 Арккосинус (y = arcсos x). Функция y = cos x определена на всей оси Ох и принимает значения на
отрезке [–1, +1] оси Оу. Пусть y = cos x = а. Этому уравнению удовлетворяет бесчисленное множество
значений х. Это можно видеть на рис. 1.12.3.
Это означает, что для определения функции, обратной функции y = cos x, нужно взять наибольший
отрезок оси Ох, на котором она монотонно возрастает или монотонно убывает. Функция y = cosx моно-
тонно возрастает от –1 до +1 на каждом отрезке вида [(2n – 1)π, 2nπ], где n = 0, ±1, ±2, ±3… . Эта функ-
ция монотонно убывает от –1 до +1 на каждом отрезке вида [2nπ, (2n +1)π]. Выберем в качестве от-
резка, на котором будет определяться обратная функция отрезок [0, π]. На этом отрезке функция y = cos
x монотонно убывает от значения +1 до –1. Следовательно, для любого у
0
∈
[–1, 1] оси Оу существует
только одно значение х
0
∈
[0, π], такое, что у
0
= cos x
0
.
Другими словами, на отрезке [0, π] для функции y = cosx существует однозначная обратная функ-
ция. Эту функцию называют арккосинусом и обозначают y = arccos x. График функции y = arccos x
симметричен с графиком функции y = cos x относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов
(рис. 1.12.4).
2
π
y
π
-1 0 1 x
у
= arccosx
y
Рис. 1.12.4
Свойства функции y = arccos x следующие:
1) Область определения: отрезок [–1, +1].
2) Область значений: отрезок [0, π].
3) Функция y = arccos x ни чётная, ни нечётная. Для неё выполняется тождество arcсos (–x) = π –
arccos x.
4) Функция y = arccos x монотонно убывающая.
5) График функции y = arccos x пересекает ось Ох в точке (1, 0), а ось Оу в точке
π
2
,0
.
6) Y = arccos x ≥0 на всём отрезке [–1, 1].
3 Арктангенс (y = arctg x). Функция y = tg x определена всюду на оси Ох, за исключением точек
вида
()
12
2
+
π
= nх
n
, где n = 0, ±1, ±2, ±3… . Область значений функции y = tg x – вся ось Оу. Поэтому об
обратной функции по отношению к функции y = tg x можно говорить для всей оси Оу. Пусть tg x =
а. Это уравнение имеет бесчисленное множество решений. В этом легко убедиться, рассматривая рис.
1.12.5.

Страницы