Группы, кольца и поля. - 1 стр.

                                 ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ


  Понятия абстрактных алгебраических объектов (групп, полей, колец, а также и других, ко-
торые здесь не рассматриваются) возникли в математике исследовании общих свойств операций
сложения и умножения.


  1. Основные определения и примеры
  Определение 1. Множество G, снабжённое операцией «·», условно называемой умножением1 ,
называется группой, если эта операция обладает следующими свойствами:
   1) для любых трёх элементов выполняется равенство f · (g · h) = (f · g) · h (ассоциативность);
   2) существует такой элемент e ∈ G, что e · g = g · e = g для любого g ∈ G (существование
      единицы)2;
   3) для любого элемента g ∈ G существует такой элемент g−1 ∈ G, что g · g−1 = g−1 · g = e
      (существование обратного элемента).
Группа называется коммутативной (или абелевой), если f · g = g · f для всех f, g ∈ G.
  Подмножество H ⊂ G называется подгруппой в G, если из f, g ∈ G следует, что f · g ∈ G.
  Очевидно, если множество H — подгруппа, то оно само является группой.
  Пример 1. В любой группе, содержащей более одного элемента, есть по крайней мере одна
подгруппа, не совпадающая с самой группой, — это подгруппа состоящая из единичного элемента.
Она же является самой простой из существующих групп. Ниже мы, конечно, рассмотрим более
сложные и интересные примеры.
  Пример 2. Множество рациональных чисел, отличных от нуля, образует группу относительно
операции умножения, а подмножество положительных рациональных чисел является подгруппой.
Точно так же группу по умножению образует множество всех действительных чисел, а подмно-
жество положительных чисел — её подгруппа.
  Пример 3. Множество Z всех целых чисел является группой относительно сложения, а все
чётные числа образуют подгруппу (в отличие от нечётных). Заметим, что пока все рассмотренные
нами группы были коммутативными.
  Определение 2. Отображение ϕ : G → H группы G в группу H называется гомоморфизмом,
если ϕ(f · g) = ϕ(f ) · ϕ(g) для всех f, g ∈ G. Гомоморфизм называется эпиморфизмом, если
он является сюръекцией, и мономорфизмом, если он — инъекция. Если гомоморфизм является
одновременно и эпиморфизмом, и мономорфизмом, то он называется изоморфизмом. Группы,
между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными, и с алгебраической точки
зрения они неразличимы.
  Пример 4. Сопоставим каждому целому числу n число 2n. Это сопоставление — гомоморфизм
группы целых чисел в группу чётных чисел, являющееся изоморфизмом.
  Пример 5. Множество всех R действительных чисел является коммутативной группой относи-
тельно сложения, а множество R+ всех положительных чисел — коммутативной группой относи-
тельно умножения. Отображение
                                        exp : R → R+ ,    x 7→ ex
  1Это название действительно условно: в конкретных примерах в качестве группового умножения может высту-
пать и умножение, и сложение, и операции иного характера.
   2Как будет видно из примеров, этот элемент, в зависимости от операции в группе, может действительно быть
единицей, может совпадать с нулём, а может быть ни тем и не другим.
                                                     1