Группы, кольца и поля. - 4 стр.

4                                      ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

  Пример 11. Подмножество 2Z ⊂ Z, состоящее из всех чётных целых чисел, то есть чисел
вида 2k, k ∈ Z, также является коммутативным и ассоциативным кольцом, но в этом кольце нет
единицы.
  Пример 12. Множество нечётных чисел не образует кольца, поскольку оно не замкнуто отно-
сительно сложения — сумма двух нечётных чисел чётна.
  Пример 13. Множество N ⊂ Z натуральных чисел также не является кольцом, поскольку
число, противоположное натуральному, уже не является натуральным.
  Пример 14. Множество Mat(n, n) квадратных матриц размера n × n является ассоциатив-
ным кольцом с единицей относительно сложения и композиции матриц. Однако это кольцо не
коммутативно.
  Пример 15. То же самое множество можно наделить другим умножение, взяв в качестве тако-
вого коммутатор матриц. Это тоже будет кольцом, но ни ассоциативным, ни коммутативным и
без единицы.
  Пример 16. Если V — векторное пространство размерности n, то можно рассмотреть мно-
жество Lin(V, V ) линейных операторов, действующих в этом пространстве. Оно является ассо-
циативным кольцом с единицей относительно сложения и композиции операторов. Аналогично
примеру 15 в этом множестве можно ввести другое умножение, рассмотрев коммутатор линейных
операторов.
  Пример 17. Множества Q рациональных чисел и R действительных чисел являются полями
относительно обычных операций сложения и умножения чисел.
  Пример 18. Множество C(R), состоящее из функций, непрерывных на прямой, является коль-
цом, если сложение и умножение определить следующим образом:
              (f + g)(x) = f (x) + g(x),   (f · g)(x) = f (x)g(x),     f, g ∈ C ′ (R),   x ∈ R.   (1)
    Определение 8. Элементы a и b кольца R называются делителями нуля, если
     1) сами они отличны от нуля, a 6= 0, b 6= 0,
     2) их произведение равно нулю, ab = 0.
    Пример 19. Функции
                             f (x) = |x| + x, g(x) = |x| − x
являются делителями нуля в кольце непрерывных функций на прямой.
    Пример 20. Матрицы ( 10 00 ) и ( 00 01 ) являются делителями нуля в кольце Mat(2, 2).
  Определение 9. Пусть R и R′ — кольца. Отображение f : R → R′ называется гомоморфизмом
колец, если
                          f (a + b) = f (a) + f (b), f (ab) = f (a)f (b)
для любых элементов a, b ∈ R.
    Определение 10. Пусть f : R → R′ — гомоморфизм колец. Множество
                                       ker f = { a ∈ R | f (a) = 0 }
называется ядром гомоморфизма f . Множество
                                   im f = { a′ ∈ R′ | a = f (a), a ∈ R }
называется образом гомоморфизма f .
    Определение 11. Пусть f : R → R′ гомоморфизм колец.
     1) f называется мономорфизмом, если ker f = 0;
     2) f называется эпиморфизмом, если im f = R′ ;
     3) f называется изоморфизмом, если он одновременно и эпиморфизм, и мономорфизм.