Группы, кольца и поля. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

14 ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ
Из основной теоремы алгебры (теорема 5) и теоремы Безу (теорема 7) следует, что любой
многочлен степени n однозначно представляется в виде
P (x) = a
n
(x − c
1
)
n
1
(x − c
2
)
n
2
. . . (x − c
k
)
n
k
, (15)
где c
1
< ··· < c
k
— различные комплексные корни уравнения P (x) = 0, а n
1
, . . . , n
k
, n
i
6= 0 —
их кратности. При этом представление (15) единственно. Таким образом, справедлив следующий
результат.
Предложение 7. Над полем комплексных чисел неприводимыми являются многочлены пер-
вой степени и только они.
Если же мы хотим оставаться внутри поля действительных чисел, то есть не рассматривать
комплексные корни, то в этом случае предложение 7 становится неверным и результат более
сложен. Именно, во-первых, заметим следующее. Пусть P (x) ∈ R[x] — многочлен с действитель-
ными коэффициентами и c — его (комплексный) корень. Тогда число ¯c, комплексно сопряжённое
к c, также является его корнем. Отсюда следует описание неразложимых многочленов над полем
действительных чисел.
Теорема 8. В кольце R[x] неразложимыми являются многочлены первой степени, а также
квадратные трёхчлены αx
2
+ βx + γ, для которых D = β
2
−4αγ < 0. При этом любой многочлен
разлагается в произведение неприводимых:
P (x) = a
n
(x − c
1
)
n
1
. . . (x − c
k
)
n
k
(x
2
+ p
1
x + q
1
)
m
1
. . . (x
2
+ p
s
x + q
s
)
m
s
, (16)
где все сомножители попарно различны, p
2
i
− 4q
i
< 0, c
j
— различные действительные корни
многочлена P(x) и
deg P (x) = n
1
+ ··· + n
k
+ 2(m
1
+ ··· + m
s
).
Факторкольца. Пусть P (x) ∈ R[x]. Рассмотрим множество
(P ) = {Q(x)P (x) | Q(x) ∈ R[x] } ⊂ R[x].
Предложение 8. Множество (P ) является идеалом кольца R[x]. Более того, любой идеал этого
кольца имеет вид (P ) для некоторого многочлена P (x) ∈ R[x].
Следовательно, для любого P (x) ∈ R[x] можно рассмотреть факторкольцо R[x]/(P).
Предложение 9. Пусть P (x) ∈ R[x]. Тогда:
1) если P (x) = αx + β, α 6= 0, то факторкольцо R[x]/(P ) изоморфно полю действительных
чисел R;
2) если P (x) = αx
2
+ βx + γ, α 6= 0 и D = β
2
−4αγ < 0, то факторкольцо R[x]/(P ) изоморфно
полю комплексных чисел C;
3) если P (x) = αx
2
+ βx + γ, α 6= 0 и D = β
2
− 4αγ > 0, то факторкольцо R[x]/(P) является
некоторым кольцом с делителями нуля.
Чтобы описать умножение в кольце R[x]/(P ), где P (x) = αx
2
+ βx + γ, заметим, что любой
элемент L ∈ R[x]/(P ) однозначно представляется в виде
L = ax + b, a, b ∈ R.
Чтобы перемножить два элемента L
1
и L
2
, нужно перемножить их как многочлены, а потом
вычислить остаток от деления результата на P (x) = αx
2
+ βx + γ. Поэтому
(a
1
x + b
1
)(a
2
x + b
2
) = (a
1
b
2
+ a
2
b
1
−
β
α
a
1
a
2
)x + (b
1
b
2
−
γ
α
a
1
a
2
) (17)
в факторкольце R[x]/(P).
14                                          ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

  Из основной теоремы алгебры (теорема 5) и теоремы Безу (теорема 7) следует, что любой
многочлен степени n однозначно представляется в виде
                                 P (x) = an (x − c1 )n1 (x − c2 )n2 . . . (x − ck )nk ,                    (15)
где c1 < · · · < ck — различные комплексные корни уравнения P (x) = 0, а n1 , . . . , nk , ni 6= 0 —
их кратности. При этом представление (15) единственно. Таким образом, справедлив следующий
результат.
  Предложение 7. Над полем комплексных чисел неприводимыми являются многочлены пер-
вой степени и только они.
   Если же мы хотим оставаться внутри поля действительных чисел, то есть не рассматривать
комплексные корни, то в этом случае предложение 7 становится неверным и результат более
сложен. Именно, во-первых, заметим следующее. Пусть P (x) ∈ R[x] — многочлен с действитель-
ными коэффициентами и c — его (комплексный) корень. Тогда число c̄, комплексно сопряжённое
к c, также является его корнем. Отсюда следует описание неразложимых многочленов над полем
действительных чисел.
  Теорема 8. В кольце R[x] неразложимыми являются многочлены первой степени, а также
квадратные трёхчлены αx2 + βx + γ, для которых D = β 2 − 4αγ < 0. При этом любой многочлен
разлагается в произведение неприводимых:
                P (x) = an (x − c1 )n1 . . . (x − ck )nk (x2 + p1 x + q1 )m1 . . . (x2 + ps x + qs )ms ,   (16)
где все сомножители попарно различны, p2i − 4qi < 0, cj — различные действительные корни
многочлена P (x) и
                        deg P (x) = n1 + · · · + nk + 2(m1 + · · · + ms ).

Факторкольца. Пусть P (x) ∈ R[x]. Рассмотрим множество
                                   (P ) = { Q(x)P (x) | Q(x) ∈ R[x] } ⊂ R[x].
  Предложение 8. Множество (P ) является идеалом кольца R[x]. Более того, любой идеал этого
кольца имеет вид (P ) для некоторого многочлена P (x) ∈ R[x].
     Следовательно, для любого P (x) ∈ R[x] можно рассмотреть факторкольцо R[x]/(P ).
     Предложение 9. Пусть P (x) ∈ R[x]. Тогда:
      1) если P (x) = αx + β, α 6= 0, то факторкольцо R[x]/(P ) изоморфно полю действительных
         чисел R;
      2) если P (x) = αx2 + βx + γ, α 6= 0 и D = β 2 − 4αγ < 0, то факторкольцо R[x]/(P ) изоморфно
         полю комплексных чисел C;
      3) если P (x) = αx2 + βx + γ, α 6= 0 и D = β 2 − 4αγ > 0, то факторкольцо R[x]/(P ) является
         некоторым кольцом с делителями нуля.
  Чтобы описать умножение в кольце R[x]/(P ), где P (x) = αx2 + βx + γ, заметим, что любой
элемент L ∈ R[x]/(P ) однозначно представляется в виде
                                             L = ax + b,        a, b ∈ R.
Чтобы перемножить два элемента L1 и L2 , нужно перемножить их как многочлены, а потом
вычислить остаток от деления результата на P (x) = αx2 + βx + γ. Поэтому
                                                           β                   γ
                (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) = (a1 b2 + a2 b1 − a1 a2 )x + (b1 b2 − a1 a2 ) (17)
                                                           α                   α
в факторкольце R[x]/(P ).

Страницы