Группы, кольца и поля. - 11 стр.

                                         ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ                               11

у которых Re z = 0, называются чисто мнимыми. Комплексное число i = 0 + i · 1 называется
мнимой единицей. При этом i2 = −1.
  Для всякого комплексного числа z = x + iy число z̄ = x − iy называется комплексно сопряжён-
ным данному. Операция комплексного сопряжения z 7→ z̄ обладает следующими свойствами:
             z + z ′ = z̄ + z̄ ′ , zz ′ = z̄ z̄ ′ , z̄¯ = z, z + z̄ = 2 Re z, z − z̄ = 2i Im z.
Комплексное число является действительным тогда и только тогда, когда z = z̄, и чисто мнимым
тогда и только тогда, когда z = −z̄.

  Замечание 4. Операция комплексного сопряжения является изоморфизмом поля комплекс-
ных чисел а себя.

Модуль и аргумент. Для любого комплексного числа z произведение zz̄ = x2 + y 2 является
действительным числом. Число                    p
                                      ρ = |z| = x2 + y 2
называется модулем числа z. Угол ϕ, для которого справедливы равенства
                                         Im z           Re z
                                 sin ϕ =      , cos ϕ =      ,
                                           ρ             ρ
называется аргументом комплексного числа z. Аргумент определён с точностью до 2π и обозна-
чается через Arg z. Значение аргумента, выбранное в интервале (−π, π], называется главным и
обозначается через arg z.
  Таким образом, любое комплексное число можно записать виде
                                          z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ).
Эта форма записи называется тригонометрической. Эта форма удобна для умножения и деления
комплексных чисел:
                               zz ′ = ρρ′ (cos(ϕ + ϕ′ ) + i sin(ϕ + ϕ′ ))
и
                                z      ρ
                                    = ′ (sin(ϕ − ϕ′ ) + i cos(ϕ − ϕ′ )),
                                z ′    ρ
а также
                                    z n = ρn (sin(nϕ) + i cos(nϕ)).
Последняя формула называется формулой Муавра.
   Числа cos ϕ + i sin ϕ записывают также в виде eiϕ , или exp(iϕ). Таким образом, каждое ком-
плексное число можно представить как
                                           z = ρeiϕ ≡ exp(iϕ).
Это называется экспоненциальной, или показательной формой записи. Имеют место равенства
                                     ′              ′     ρeiϕ      ρ       ′
                           ρeiϕ ρ′ eiϕ = ρρ′ ei(ϕ+ϕ ) ,           = ′ ei(ϕ−ϕ )
                                                          ρ′ eiϕ′  ρ
(в последнем случае ρ 6= 0).

Решение уравнений в комплексных числах. В 1799 году Карл Фридрих Гаусс доказал сле-
дующий фундаментальный результат:
  Теорема 5 (основная теорема алгебры). Любое уравнение вида
                         an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 = 0,   an 6= 0,            (9)
где a0 , . . . , an — комплексные числа, имеет ровно n комплексных корней, если каждый корень
считать с учётом его кратности.
  Например, квадратные уравнения всегда имеют два корня (возможно, совпадающие), кубиче-
ские — три и т.д.