ВУЗ:
Рубрика:
12 ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ
Вычисление корней. Рассмотрим уравнение
z
n
= x + iy.
Его решения — корни n-й степени из числа, стоящего в правой части. Представляя это число в
тригонометрической форме и используя формулу Муавра, получаем n различных корней
z
k
=
n
√
ρ
cos
ϕ + 2πk
n
+ i sin
ϕ + 2πk
n
, k = 0, 1, . . . , n − 1.
Таким образом, каждое комплексное (и, в частности, действительное!) число имеет n различных
корней степени n. Например, корнями 4-й степени из единицы я вляются числа
1, i, −1, −i.
Выпишем выражение для квадратного корня из комплексного числа p + iq, не используя фор-
мулу Муавра. Пусть z = x
i
y — такое число, что z
2
= p
i
q. Тогда
x
2
− y
2
= p, 2xy = q. (10)
Следовательно, y =
q
2p
и, значит,
x
2
−
q
2
4x
2
= p,
то есть
4x
4
− 4px
2
− q
2
= 0.
Это — биквадратное уравнении, и его вещественными корнями являются
x
1,2
= ±
s
p
p
2
+ q
2
+ p
2
, y
1,2
= ±
s
p
p
2
+ q
2
− p
2
.
Из четырёх возможных комбинаций только две при возведении в квадрат дают исходное число:
±
q
√
p
2
+q
2
+p
2
± i
q
√
p
2
+q
2
−p
2
, если p > 0,
±
q
√
p
2
+q
2
+p
2
∓ i
q
√
p
2
+q
2
−p
2
, если p < 0,
(11)
и именно они являются квадратными корнями из комплексного числа p + iq.
Решение квадратных уравнений. Рассмотрим уравнение
az
2
+ bz + c = 0, a, b, c ∈ R, a 6= 0.
Его решениями являются
z
1,2
=
−b ±
√
D
2a
, D > 0,
−b ± i
√
−D
2a
, D < 0,
где D = b
2
− 4ac. Заметим, что если корни комплексные (случай D < 0), то они комплексно
сопряжены. Таким же свойством обладают решения любого уравнения (9) с действительными
коэффициентами: если число z — его решение, то ¯z также является решением.
Если уравнение имеет комплексные коэффициенты, то его решения имеют вид
z
1,2
=
−b +
√
D
2a
,
где
√
D вычисляется по формулам (11).
Как и для уравнений с действительными коэффициентами, для произвольных квадратных
уравнений справедлива
12 ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ
Вычисление корней. Рассмотрим уравнение
z n = x + iy.
Его решения — корни n-й степени из числа, стоящего в правой части. Представляя это число в
тригонометрической форме и используя формулу Муавра, получаем n различных корней
√ ϕ + 2πk ϕ + 2πk
zk = n ρ cos + i sin , k = 0, 1, . . . , n − 1.
n n
Таким образом, каждое комплексное (и, в частности, действительное!) число имеет n различных
корней степени n. Например, корнями 4-й степени из единицы являются числа
1, i, −1, −i.
Выпишем выражение для квадратного корня из комплексного числа p + iq, не используя фор-
мулу Муавра. Пусть z = xi y — такое число, что z 2 = pi q. Тогда
x2 − y 2 = p, 2xy = q. (10)
q
Следовательно, y = 2p и, значит,
q2
x2 − = p,
4x2
то есть
4x4 − 4px2 − q 2 = 0.
Это — биквадратное уравнении, и его вещественными корнями являются
sp sp
p2 + q 2 + p p2 + q 2 − p
x1,2 = ± , y1,2 = ± .
2 2
Из четырёх возможных комбинаций только две при возведении в квадрат дают исходное число:
q√ q√
p2 +q 2 +p p2 +q 2 −p
± ±i , если p > 0,
q√ 2 q√ 2 (11)
2 2
p +q +p 2 2
p +q −p
± ∓ i , если p < 0,
2 2
и именно они являются квадратными корнями из комплексного числа p + iq.
Решение квадратных уравнений. Рассмотрим уравнение
az 2 + bz + c = 0, a, b, c ∈ R, a 6= 0.
Его решениями являются
√
−b ± D
, D > 0,
z1,2 = 2a √
−b ± i −D , D < 0,
2a
2
где D = b − 4ac. Заметим, что если корни комплексные (случай D < 0), то они комплексно
сопряжены. Таким же свойством обладают решения любого уравнения (9) с действительными
коэффициентами: если число z — его решение, то z̄ также является решением.
Если уравнение имеет комплексные коэффициенты, то его решения имеют вид
√
−b + D
z1,2 = ,
2a
√
где D вычисляется по формулам (11).
Как и для уравнений с действительными коэффициентами, для произвольных квадратных
уравнений справедлива
