Группы, кольца и поля. - 13 стр.

                                       ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ                                         13

  Теорема 6 (теорема Виета). Пусть
                               az 2 + bz + c = 0,        a, b, c ∈ Z,    a 6= 0,
и z1 , z2 — его корни. Тогда
                                               c                   b
                                     z1 z2 =     ,      z1 + z2 = − .                              (12)
                                               a                   a


  5. Кольцо полиномов
  Определение 17. Выражение вида
                   P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ,    a0 , a1 , a2 , . . . , an ∈ R,
называется многочленом (или полиномом) от переменной x. Числа a0 , . . . , an называются коэф-
фициентами многочлена, а число n — его степенью, если an =
                                                         6 0.
  Степень многочлена P (x) обозначается через deg P (x). Многочлены можно складывать и пе-
ремножать, причём
      deg(P (x) + Q(x)) 6 deg P (x) + deg Q(x),           deg(P (x)Q(x)) = deg P (x) + deg Q(x).   (13)
  Предложение 5. Множество многочленов является ассоциативным и коммутативным коль-
цом с единицей.
  Кольцо многочленов обозначается через R[x].
  Замечание 5. Вместо поля R в качестве коэффициентов можно взять поле комплексных чи-
сел C. Мы тоже получим кольцо, которое обозначается через C[x].
  Замечание 6. Точно так же, как из кольца целых чисел было получено поле рациональных
чисел, из кольца многочленов можно получить поле рациональных дробей. Оно состоит из отно-
         (x)
шений PQ(x)  , где P (x) и Q(x) — многочлены и Q(x) 6= 0.
  Благодаря соотношениям (13) кольцо многочленов обладает многими свойствами кольца целых
чисел.
  Предложение 6. Пусть M (x) и N (x) — многочлены и N (x) 6= 0. Тогда существует единствен-
ная пара таких многочленов Q(x) и R(x), что
                     M (x) = Q(x)N (x) + R(x),             0 6 deg R(x) < deg N (x).               (14)
  Многочлен Q(x) называется (неполным) частным от деления M (x) на N (x), а R(x) — остат-
ком.
  Если в равенстве (14) R(x) = 0, то говорят, что M (x) делится на N (x) (или кратен N (x)). В
этом случае N (x) называется делителем многочлена M (x).
  Теорема 7 (теорема Безу). Остаток от деления любого многочлена M (x) на многочлен N (x) =
x − c, c ∈ R, равен значению M (x) при x = c. В частности, M (x) делится на x − c тогда и только
тогда, когда M (c) = 0.
  Мы будем говорить, что c — корень многочлена M (x), если M (c) = 0.
  Замечание 7. Как и в кольце целых чисел, в кольце многочленов выполняется алгоритм Ев-
клида (ср. с теоремой 3). Для них также можно определить понятия наибольшего общего делителя
и наименьшего общего кратного (см. определение 14).
  Роль простых чисел в кольце многочленов играют неразложимые многочлены.
  Определение 18. Многочлен P (x) называется неразложимым, если deg P (x) > 0 и его нельзя
представить в виде
                        P (x) = S(x)Q(x),            deg S(x) > 0,      deg Q(x) > 0.