Группы, кольца и поля. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

10 ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ
Матричное представление. Рассмотрим матрицы вида
M(x, y) =
x −y
y x
= x · E + y · I, где E =
1 0
0 1
, I =
0 −1
1 0
, x, y ∈ R.
Имеют место равенства
x −y
y x
+
x
′
−y
′
y
′
x
′
=
x + x
′
−y −y
′
y + y
′
x + x
′
,
x −y
y x
·
x
′
−y
′
y
′
x
′
=
xx
′
−yy
′
−xy
′
− x
′
y
xy
′
+ x
′
y xx
′
− yy
′
,
то есть
M(x, y) + M (x
′
, y
′
) = M (x + x
′
, y + y
′
), M(x, y) · M (x
′
, y
′
) = M(xx
′
− yy
′
, xy
′
+ x
′
y).
В частности, I
2
= I ·I = −E. При этом
x −y
y x
= x
2
+ y
2
и
x −y
y x
·
x
x
2
+y
2
y
x
2
+y
2
−y
x
2
+y
2
x
x
2
+y
2
!
=
1 0
0 1
, x
2
+ y
2
6= 0,
то есть M (x, y) ·M
x
x
2
+y
2
,
−y
x
2
+y
2
= E.
Изучим, как действует матрица I в пространстве R
2
. Рассмотрим произвольный вектор ¯v =
(x, y) ∈ R
2
. Тогда I · ¯v = (−y, x) и поэтому
|I · ¯v| = |¯v|, (¯v, I · ¯v) = 0.
Значит, вектор I · ¯v имеет ту же длину, что и ¯v, и перпендикулярен ему. Действие матрицы I —
это поворот плоскост и на 90
◦
против часовой стр елки.
Поле комплексных чисел. Сопоставим матрице M (x, y) точку (x, y) ∈ R
2
и обозначим эту
точку через z = x + iy. Операции сложения и умножения матриц перейдут в следующие:
z + z
′
= (x + x
′
) + i(y + y
′
), zz
′
= (xx
′
− yy
′
) + i(xy
′
+ x
′
y).
Свойства:
z + z
′
= z
′
+ z, z + (z
′
+ z
′′
) = (z + z
′
) + z
′′
,
z + 0 = z, z + (−z) = 0,
где
0 = 0 + i ·0, − z = −x + i(−y),
zz
′
= z
′
z, z(z
′
z
′′
) = (zz
′
)z
′′
,
и
z · 1 = z, zz
−1
= 1
где
1 = 1 + i ·0, z
−1
=
x
x
2
+ y
2
− i
y
x
2
+ y
2
, z 6= 0.
Велич´ины z = x + iy, которые складывают и умножают по указанным правилам, называются
компл´ексными числами. Множество всех комплексных чисел образует поле, которое о бозначается
через C и называется полем комплексных чисел. Частным от деления двух комплексных чисел z
и z
′
, z
′
6= 0, называется комплексное число
z
z
′
= zz
−1
.
Если z = x + iy, то действительное число x называется вещественной частью комплексного
числа z и обозначается через Re z; число y называется мнимой частью комплексного числа z
и обозначается через Im z. Если Im z = 0, то есть z = x, то это действительное число. Числа,
10                                          ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

Матричное представление. Рассмотрим матрицы вида
                                                                 
                    x −y                              1 0         0 −1
       M (x, y) =          = x · E + y · I, где E =        , I=         ,                                    x, y ∈ R.
                    y x                               0 1         1 0
Имеют место равенства
         ′                                                         ′       ′                     
  x −y      x −y ′     x + x′ −y − y ′                             x −y    x −y ′    xx − yy ′ −xy ′ − x′ y
         +           =                   ,                               ·         =                          ,
  y x       y ′ x′     y + y ′ x + x′                              y x     y ′ x′    xy ′ + x′ y xx′ − yy ′
то есть
       M (x, y) + M (x′ , y ′ ) = M (x + x′ , y + y ′ ),       M (x, y) · M (x′ , y ′ ) = M (xx′ − yy ′ , xy ′ + x′ y).
В частности, I2 = I · I = −E. При этом
                                                    x −y
                                                         = x2 + y 2
                                                    y x
и                                                              !
                                           x          y                     
                          x −y             2 +y 2    x2 +y 2                1 0
                                       · x −y           x           =            ,       x2 + y 2 6= 0,
                          y x             x2 +y 2    x2 +y 2
                                                                            0 1
                                      
                        x       −y
то есть M (x, y) · M x2 +y 2 , x2 +y 2   = E.
   Изучим, как действует матрица I в пространстве R2 . Рассмотрим произвольный вектор v̄ =
(x, y) ∈ R2 . Тогда I · v̄ = (−y, x) и поэтому
                                            |I · v̄| = |v̄|,       (v̄, I · v̄) = 0.
Значит, вектор I · v̄ имеет ту же длину, что и v̄, и перпендикулярен ему. Действие матрицы I —
это поворот плоскости на 90◦ против часовой стрелки.

Поле комплексных чисел. Сопоставим матрице M (x, y) точку (x, y) ∈ R2 и обозначим эту
точку через z = x + iy. Операции сложения и умножения матриц перейдут в следующие:
               z + z ′ = (x + x′ ) + i(y + y ′ ),                       zz ′ = (xx′ − yy ′ ) + i(xy ′ + x′ y).
Свойства:
               z + z ′ = z ′ + z,                                       z + (z ′ + z ′′ ) = (z + z ′ ) + z ′′ ,
               z + 0 = z,                                               z + (−z) = 0,
где
               0 = 0 + i · 0,                                           − z = −x + i(−y),
               zz ′ = z ′ z,                                            z(z ′ z ′′ ) = (zz ′ )z ′′ ,
и
               z · 1 = z,                                               zz −1 = 1
где
                                                             x         y
               1 = 1 + i · 0,                                     −i 2  z −1 =
                                                                           , z 6= 0.
                                                             +y 2   x + y2        x2
  Величи́ны z = x + iy, которые складывают и умножают по указанным правилам, называются
компле́ксными числами. Множество всех комплексных чисел образует поле, которое обозначается
через C и называется полем комплексных чисел. Частным от деления двух комплексных чисел z
и z ′ , z ′ 6= 0, называется комплексное число zz′ = zz −1 .
  Если z = x + iy, то действительное число x называется вещественной частью комплексного
числа z и обозначается через Re z; число y называется мнимой частью комплексного числа z
и обозначается через Im z. Если Im z = 0, то есть z = x, то это действительное число. Числа,

Страницы