Группы, кольца и поля. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ 9
Теорема 4. Относительно операций (6) и (7) множество Z
k
является коммутативным и ас-
социативным кольцом с единицей. Это кольцо является полем тогда и только тогда, когда k —
простое число.
Определение 15. Множество Z
k
, снабжённое операцией сложения (6) и умножения (7) назы-
вается кольцом вычетов по модулю k. Если k — простое число, то оно называется полем вычетов.
Пример 34. Структура кольца (поля) в Z
k
задаётся таблицами сложения и умножения. На-
пример, для поля Z
2
эти таблицы имеют вид
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
,
· 0 1
0 0 0
1 0 1
,
в поле Z
3
—
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
,
· 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1
,
а в кольце Z
6
таблицы таковы:
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 1 4
,
· 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1
.
Кольца и поля вычетов являются частным случаем очень важной для алгебры конструкции.
Пусть S ⊂ R — идеал кольца R. Рассмотрим элемент a ∈ R и подмножество [a] ⊂ R всех та-
ких элементов a
′
∈ R, что a
′
− a ∈ S. Можно показать, что любые два таких подмножества
либо совпадают, либо не пересекаются
5
. Обозначим через R/S множество таких подмножеств и
положим
[a] + [b] = [a + b], [a] · [b] = [a · b], a, b ∈ R. (8)
Предложение 4. Относительно операций (8) множество R /S является кольцом, а отображе-
ние S → R/S, сопоставляющее каждому элементу a ∈ S подмножество [a] ⊂ S, — эпиморфизмом
колец. Ядром этого эпиморфизма является идеал S.
Определение 16. Кольцо R/S называется факторкольцом кольца R по идеалу S.
Пример 35. Пусть R = Z и
S = k · Z = {kn | n ∈ Z }.
Тогда S = k ·Z — идеал кольца целых чисел, а факторкольцо Z/S изоморфно кольцу вычетов Z
k
.
4. Поле комплексных чисел
Мнимые числа — это прекрасное и чудесное
убежище божественного духа, почти что
амфибия бытия с небытием.
Готфрид Вильгельм Лейбниц
Комплексные числа возникли как обобщение чисел вещественных при попытках решать про-
извольные квадратные (и более общие) уравнения.
5
Причина состоит в том, что отношение a ∼ a
′
⇔ a
′
− a ∈ S является отношением эквивалентности.
                                          ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ                                    9

  Теорема 4. Относительно операций (6) и (7) множество Zk является коммутативным и ас-
социативным кольцом с единицей. Это кольцо является полем тогда и только тогда, когда k —
простое число.
  Определение 15. Множество Zk , снабжённое операцией сложения (6) и умножения (7) назы-
вается кольцом вычетов по модулю k. Если k — простое число, то оно называется полем вычетов.
  Пример 34. Структура кольца (поля) в Zk задаётся таблицами сложения и умножения. На-
пример, для поля Z2 эти таблицы имеют вид
                                          +   0 1        ·   0 1
                                          0   0 1 ,      0   0 0 ,
                                          1   1 0        1   0 1
в поле Z3 —
                                      +   0   1   2      ·   0   1   2
                                      0   0   1   2      0   0   0   0
                                                    ,                  ,
                                      1   1   2   0      1   0   1   2
                                      2   2   0   1      2   0   2   1
а в кольце Z6 таблицы таковы:
                         +    0   1   2   3   4   5      ·   0   1   2     3   4   5
                         0    0   1   2   3   4   5      0   0   0   0     0   0   0
                         1    1   2   3   4   5   0      1   0   1   2     3   4   5
                         2    2   3   4   5   0   1 ,    2   0   2   4     0   2   4 .
                         3    3   4   5   0   1   2      3   0   3   0     3   0   3
                         4    4   5   0   1   2   3      4   0   4   2     0   4   2
                         5    5   0   1   2   1   4      5   0   5   4     3   2   1
  Кольца и поля вычетов являются частным случаем очень важной для алгебры конструкции.
Пусть S ⊂ R — идеал кольца R. Рассмотрим элемент a ∈ R и подмножество [a] ⊂ R всех та-
ких элементов a′ ∈ R, что a′ − a ∈ S. Можно показать, что любые два таких подмножества
либо совпадают, либо не пересекаются5 . Обозначим через R/S множество таких подмножеств и
положим
                         [a] + [b] = [a + b], [a] · [b] = [a · b], a, b ∈ R.          (8)
  Предложение 4. Относительно операций (8) множество R/S является кольцом, а отображе-
ние S → R/S, сопоставляющее каждому элементу a ∈ S подмножество [a] ⊂ S, — эпиморфизмом
колец. Ядром этого эпиморфизма является идеал S.
  Определение 16. Кольцо R/S называется факторкольцом кольца R по идеалу S.
  Пример 35. Пусть R = Z и
                                   S = k · Z = { kn | n ∈ Z }.
Тогда S = k · Z — идеал кольца целых чисел, а факторкольцо Z/S изоморфно кольцу вычетов Zk .


  4. Поле комплексных чисел
                                                        Мнимые числа — это прекрасное и чудесное
                                                        убежище божественного духа, почти что
                                                        амфибия бытия с небытием.
                                                        Готфрид Вильгельм Лейбниц
  Комплексные числа возникли как обобщение чисел вещественных при попытках решать про-
извольные квадратные (и более общие) уравнения.
  5Причина состоит в том, что отношение a ∼ a′ ⇔ a′ − a ∈ S является отношением эквивалентности.

Страницы