Группы, кольца и поля. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ 7
Пример 29. Для чисел из примера 28 имеем
(
75 = 72 · 1 + 3,
72 = 3 · 24.
Ещё один пример: пусть m
0
= 165, m
1
= 35. Тогда
165 = 35 ·4 + 25,
35 = 25 ·1 + 10,
25 = 10 ·2 + 5,
10 = 5 · 2.
Позиционные системы счисления. Зафиксируем какое-нибудь натуральное число n 6= 1 рас-
смотрим произвольное целое m. Тогда, в силу (2), m можно представить в виде
m = q
1
n + r
0
.
Если q
1
> n, то q
1
= q
2
n + r
1
и, следовательно,
m = q
2
n
2
+ r
1
n + r
0
.
Продолжая этот процесс, мы придём к представлению
m = q
k
n
k
+ q
k−1
n
k−1
+ ··· + q
1
n + q
0
, (4)
где все числа q
i
удовлетворяют неравенствам 0 6 q
i
< n. Представление (4) называется записью
числа n в n-ичной системе счисления, а числа q
i
n-ичными цифрами. В этом случае пишут
m = (q
k
q
k−1
. . . q
1
q
0
)
n
.
Например, в двоичной системе имеются всего две цифры — 0 и 1 — и всякое число записывается
в этой системе в виде
m = q
k
· 2
k
+ q
k−1
· 2
k−1
+ ··· + q
1
· 2 + q
0
, q
0
, q
1
, . . . , q
k
= 0, 1,
или m = (q
k
q
k−1
. . . q
1
q
0
)
2
.
Пример 30. Имеем,
1 = 1
2
, 2 = 10
2
, 3 = 11
2
, 4 = 100
2
, 5 = 101
2
, 6 = 110
2
, . . .
и
1 = 1
3
, 2 = 2
3
, 3 = 10
3
, 4 = 11
3
, 5 = 12
3
, 6 = 200
2
, . . .
Замечание 3. Если требуется перевести из десятичной в иную систему счисления дробное чис-
ло, то его представляют в виде суммы целой и дробной частей, целую часть переводят так, как
было описано выше, а для перевода дробной части используют алгоритм, который мы проиллю-
стрируем на примерах. Он состоит в последовательном умножении исходного числа на основание
новой системы счисления и выписывании получающихся целых частей результатов.
Пример 31. Перевести число 0, 125 в двоичную систему. Имеем
0, 125
2
0 , 250
2
0 , 500
2
1 , 000
Значит, (0, 125)
10
= (0, 001)
2
.
Пример 32. Перевести число 0, 3 в двоичную систему. Имеем
                                            ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ                                              7

    Пример 29. Для чисел из примера 28 имеем
                                     (
                                         75 = 72 · 1 + 3,
                                         72 = 3 · 24.
Ещё один пример: пусть m0 = 165, m1 = 35. Тогда
                                   
                                   
                                      165 = 35 · 4 + 25,
                                   
                                    35 = 25 · 1 + 10,
                                   
                                      25 = 10 · 2 + 5,
                                   
                                       10 = 5 · 2.
                                   


Позиционные системы счисления. Зафиксируем какое-нибудь натуральное число n 6= 1 рас-
смотрим произвольное целое m. Тогда, в силу (2), m можно представить в виде
                                                   m = q1 n + r0 .
Если q1 > n, то q1 = q2 n + r1 и, следовательно,
                                               m = q2 n2 + r1 n + r0 .
Продолжая этот процесс, мы придём к представлению
                                     m = qk nk + qk−1 nk−1 + · · · + q1 n + q0 ,                             (4)
где все числа qi удовлетворяют неравенствам 0 6 qi < n. Представление (4) называется записью
числа n в n-ичной системе счисления, а числа qi n-ичными цифрами. В этом случае пишут
                                              m = (qk qk−1 . . . q1 q0 )n .
Например, в двоичной системе имеются всего две цифры — 0 и 1 — и всякое число записывается
в этой системе в виде
                     m = qk · 2k + qk−1 · 2k−1 + · · · + q1 · 2 + q0 ,        q0 , q1 , . . . , qk = 0, 1,
или m = (qk qk−1 . . . q1 q0 )2 .
    Пример 30. Имеем,
                         1 = 12 , 2 = 102 , 3 = 112 , 4 = 1002 , 5 = 1012 , 6 = 1102 , . . .
и
                           1 = 13 , 2 = 23 , 3 = 103 , 4 = 113 , 5 = 123 , 6 = 2002 , . . .

  Замечание 3. Если требуется перевести из десятичной в иную систему счисления дробное чис-
ло, то его представляют в виде суммы целой и дробной частей, целую часть переводят так, как
было описано выше, а для перевода дробной части используют алгоритм, который мы проиллю-
стрируем на примерах. Он состоит в последовательном умножении исходного числа на основание
новой системы счисления и выписывании получающихся целых частей результатов.
    Пример 31. Перевести число 0, 125 в двоичную систему. Имеем
                                              0, 125
                                                   2
                                             0 , 250
                                                   2
                                             0 , 500
                                                   2
                                             1 , 000
Значит, (0, 125)10 = (0, 001)2 .
    Пример 32. Перевести число 0, 3 в двоичную систему. Имеем

Страницы